Integral de 1/(sqrt(3+x^2))-e^3*x+x/4-x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{4}\, dx = \frac{\int x\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{8}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{3} x\right)\, dx = - e^{3} \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2} e^{3}}{2}$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*tan(_theta), rewritten=sec(_theta), substep=RewriteRule(rewritten=(tan(_theta)*sec(_theta) + sec(_theta)**2)/(tan(_theta) + sec(_theta)), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=tan(_theta) + sec(_theta), constant=1, substep=ReciprocalRule(func=_u, context=1/_u, symbol=_u), context=(tan(_theta)*sec(_theta) + sec(_theta)**2)/(tan(_theta) + sec(_theta)), symbol=_theta)], context=(tan(_theta)*sec(_theta) + sec(_theta)**2)/(tan(_theta) + sec(_theta)), symbol=_theta), context=sec(_theta), symbol=_theta), restriction=True, context=1/(sqrt(x**2 + 3)), symbol=x)

         El resultado es: $- \frac{x^{2} e^{3}}{2} + \log{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \sqrt{\frac{x^{2}}{3} + 1} \right)}$

      El resultado es: $- \frac{x^{2} e^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{8} + \log{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \sqrt{\frac{x^{2}}{3} + 1} \right)}$

   El resultado es: $- \frac{x^{2} e^{3}}{2} - \frac{3 x^{2}}{8} + \log{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \sqrt{\frac{x^{2}}{3} + 1} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{2} e^{3}}{2} - \frac{3 x^{2}}{8} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 3} \right)} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2} e^{3}}{2} - \frac{3 x^{2}}{8} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 3} \right)} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2} e^{3}}{2} - \frac{3 x^{2}}{8} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 3} \right)} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$