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Resolución de integrales/ (1-x)/ dx/(1-x)^3√ln^2(1-x)

Integral de dx/(1-x)^3√ln^2(1-x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
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 |    ____________    
 |  \/ log(1 - x)     
 |  --------------- dx
 |             3      
 |      (1 - x)       
 |                    
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0
∫01(log⁡(1−x))2(1−x)3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(\sqrt{\log{\left(1 - x \right)}}\right)^{2}}{\left(1 - x\right)^{3}}\, dx 
Integral((sqrt(log(1 - x)))^2/(1 - x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (log⁡(1−x))2(1−x)3=−log⁡(1−x)x3−3x2+3x−1\frac{\left(\sqrt{\log{\left(1 - x \right)}}\right)^{2}}{\left(1 - x\right)^{3}} = - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−log⁡(1−x)x3−3x2+3x−1) dx=−∫log⁡(1−x)x3−3x2+3x−1 dx\int \left(- \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(1−x)u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)} y que dv⁡(x)=1x3−3x2+3x−1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}.

        Entonces du⁡(x)=−11−x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{1 - x}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x3−3x2+3x−1=1(x−1)3\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}

        2. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12(x−1)2- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(1−x)(x−1)2 dx=∫1(1−x)(x−1)2 dx2\int \frac{1}{2 \left(1 - x\right) \left(x - 1\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(1 - x\right) \left(x - 1\right)^{2}}\, dx}{2}

        1. que u=1−xu = 1 - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u3) du\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u3 du=−∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 12u2\frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          12(1−x)2\frac{1}{2 \left(1 - x\right)^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 14(1−x)2\frac{1}{4 \left(1 - x\right)^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1−x)2(x−1)2+14(1−x)2\frac{\log{\left(1 - x \right)}}{2 \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{4 \left(1 - x\right)^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (log⁡(1−x))2(1−x)3=log⁡(1−x)−x3+3x2−3x+1\frac{\left(\sqrt{\log{\left(1 - x \right)}}\right)^{2}}{\left(1 - x\right)^{3}} = \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(1−x)−x3+3x2−3x+1=−log⁡(1−x)x3−3x2+3x−1\frac{\log{\left(1 - x \right)}}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1} = - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−log⁡(1−x)x3−3x2+3x−1) dx=−∫log⁡(1−x)x3−3x2+3x−1 dx\int \left(- \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(1−x)u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)} y que dv⁡(x)=1x3−3x2+3x−1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}.

        Entonces du⁡(x)=−11−x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{1 - x}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x3−3x2+3x−1=1(x−1)3\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}

        2. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12(x−1)2- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(1−x)(x−1)2 dx=∫1(1−x)(x−1)2 dx2\int \frac{1}{2 \left(1 - x\right) \left(x - 1\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(1 - x\right) \left(x - 1\right)^{2}}\, dx}{2}

        1. que u=1−xu = 1 - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u3) du\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u3 du=−∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 12u2\frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          12(1−x)2\frac{1}{2 \left(1 - x\right)^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 14(1−x)2\frac{1}{4 \left(1 - x\right)^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1−x)2(x−1)2+14(1−x)2\frac{\log{\left(1 - x \right)}}{2 \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{4 \left(1 - x\right)^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    2log⁡(1−x)+14(x−1)2\frac{2 \log{\left(1 - x \right)} + 1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2log⁡(1−x)+14(x−1)2+constant\frac{2 \log{\left(1 - x \right)} + 1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2log⁡(1−x)+14(x−1)2+constant\frac{2 \log{\left(1 - x \right)} + 1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |               2                                  
 |   ____________                                   
 | \/ log(1 - x)                1         log(1 - x)
 | --------------- dx = C + ---------- + -----------
 |            3                      2             2
 |     (1 - x)              4*(1 - x)    2*(-1 + x) 
 |                                                  
/
∫(log⁡(1−x))2(1−x)3 dx=C+log⁡(1−x)2(x−1)2+14(1−x)2\int \frac{\left(\sqrt{\log{\left(1 - x \right)}}\right)^{2}}{\left(1 - x\right)^{3}}\, dx = C + \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{2 \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{4 \left(1 - x\right)^{2}}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
(-3.98840362291679e+39 + 0.0j)
(-3.98840362291679e+39 + 0.0j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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