Integral de (x+sqrt(x)-2)/x^(4/5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{2} + 2 u - 4}{u^{\frac{3}{5}}}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u^{\frac{3}{5}}}$.

         Luego que $du = - \frac{3 du}{5 u^{\frac{8}{5}}}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{- 10 u^{\frac{10}{3}} - 10 u^{\frac{5}{3}} + 20 u^{5}}{3 u^{\frac{20}{3}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{- 10 u^{\frac{10}{3}} - 10 u^{\frac{5}{3}} + 20 u^{5}}{u^{\frac{20}{3}}}\, du = \frac{\int \frac{- 10 u^{\frac{10}{3}} - 10 u^{\frac{5}{3}} + 20 u^{5}}{u^{\frac{20}{3}}}\, du}{3}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{- 10 u^{\frac{10}{3}} - 10 u^{\frac{5}{3}} + 20 u^{5}}{u^{\frac{20}{3}}} = - \frac{10}{u^{5}} + \frac{20}{u^{\frac{5}{3}}} - \frac{10}{u^{\frac{10}{3}}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{10}{u^{5}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{2 u^{4}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{20}{u^{\frac{5}{3}}}\, du = 20 \int \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}\, du = - \frac{3}{2 u^{\frac{2}{3}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{30}{u^{\frac{2}{3}}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{10}{u^{\frac{10}{3}}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du = - \frac{3}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{30}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

               El resultado es: $\frac{5}{2 u^{4}} - \frac{30}{u^{\frac{2}{3}}} + \frac{30}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{6 u^{4}} - \frac{10}{u^{\frac{2}{3}}} + \frac{10}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 u^{\frac{12}{5}}}{6} + \frac{10 u^{\frac{7}{5}}}{7} - 10 u^{\frac{2}{5}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{10 x^{\frac{7}{10}}}{7} + \frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} - 10 \sqrt[5]{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} + x\right) - 2}{x^{\frac{4}{5}}} = \sqrt[5]{x} - \frac{2}{x^{\frac{4}{5}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{10}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt[5]{x}\, dx = \frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x^{\frac{4}{5}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}\, dx = 5 \sqrt[5]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 10 \sqrt[5]{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{10}}}\, dx = \frac{10 x^{\frac{7}{10}}}{7}$

      El resultado es: $\frac{10 x^{\frac{7}{10}}}{7} + \frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} - 10 \sqrt[5]{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{10 x^{\frac{7}{10}}}{7} + \frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} - 10 \sqrt[5]{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{10 x^{\frac{7}{10}}}{7} + \frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} - 10 \sqrt[5]{x}+ \mathrm{constant}$