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Resolución de integrales/ (e^x)/ cos(x)/ sin(y)/ (e^x)*(x*cos(x)-y*sin(y))

Integral de (e^x)*(x*cos(x)-y*sin(y)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                            
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 |  E *(x*cos(x) - y*sin(y)) dx
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0
∫01ex(xcos⁡(x)−ysin⁡(y)) dx\int\limits_{0}^{1} e^{x} \left(x \cos{\left(x \right)} - y \sin{\left(y \right)}\right)\, dx 
Integral(E^x*(x*cos(x) - y*sin(y)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    ex(xcos⁡(x)−ysin⁡(y))=xexcos⁡(x)−yexsin⁡(y)e^{x} \left(x \cos{\left(x \right)} - y \sin{\left(y \right)}\right) = x e^{x} \cos{\left(x \right)} - y e^{x} \sin{\left(y \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=excos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando excos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)}:

          que u(x)=cos⁡(x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces ∫excos⁡(x) dx=excos⁡(x)−∫(−exsin⁡(x)) dx\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx.

        2. Para el integrando −exsin⁡(x)- e^{x} \sin{\left(x \right)}:

          que u(x)=−sin⁡(x)u{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces ∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)+excos⁡(x)+∫(−excos⁡(x)) dx\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          2∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)+excos⁡(x)2 \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto,

          ∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)2+excos⁡(x)2\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫exsin⁡(x)2 dx=∫exsin⁡(x) dx2\int \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

          1. Para el integrando exsin⁡(x)e^{x} \sin{\left(x \right)}:

            que u(x)=sin⁡(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

            Entonces ∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−∫excos⁡(x) dx\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx.

          2. Para el integrando excos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)}:

            que u(x)=cos⁡(x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

            Entonces ∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−excos⁡(x)+∫(−exsin⁡(x)) dx\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx.

          3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            2∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−excos⁡(x)2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}

            Por lo tanto,

            ∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)2−excos⁡(x)2\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: exsin⁡(x)4−excos⁡(x)4\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫excos⁡(x)2 dx=∫excos⁡(x) dx2\int \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

          1. Para el integrando excos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)}:

            que u(x)=cos⁡(x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

            Entonces ∫excos⁡(x) dx=excos⁡(x)−∫(−exsin⁡(x)) dx\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx.

          2. Para el integrando −exsin⁡(x)- e^{x} \sin{\left(x \right)}:

            que u(x)=−sin⁡(x)u{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

            Entonces ∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)+excos⁡(x)+∫(−excos⁡(x)) dx\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx.

          3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            2∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)+excos⁡(x)2 \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}

            Por lo tanto,

            ∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)2+excos⁡(x)2\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: exsin⁡(x)4+excos⁡(x)4\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}

      El resultado es: exsin⁡(x)2\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−yexsin⁡(y)) dx=−ysin⁡(y)∫ex dx\int \left(- y e^{x} \sin{\left(y \right)}\right)\, dx = - y \sin{\left(y \right)} \int e^{x}\, dx

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

      Por lo tanto, el resultado es: −yexsin⁡(y)- y e^{x} \sin{\left(y \right)}

    El resultado es: x(exsin⁡(x)2+excos⁡(x)2)−yexsin⁡(y)−exsin⁡(x)2x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) - y e^{x} \sin{\left(y \right)} - \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    (2xsin⁡(x+π4)−2ysin⁡(y)−sin⁡(x))ex2\frac{\left(\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2 y \sin{\left(y \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (2xsin⁡(x+π4)−2ysin⁡(y)−sin⁡(x))ex2+constant\frac{\left(\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2 y \sin{\left(y \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2xsin⁡(x+π4)−2ysin⁡(y)−sin⁡(x))ex2+constant\frac{\left(\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2 y \sin{\left(y \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |  x                                  |cos(x)*e    e *sin(x)|   e *sin(x)      x       
 | E *(x*cos(x) - y*sin(y)) dx = C + x*|--------- + ---------| - --------- - y*e *sin(y)
 |                                     \    2           2    /       2                  
/
∫ex(xcos⁡(x)−ysin⁡(y)) dx=C+x(exsin⁡(x)2+excos⁡(x)2)−yexsin⁡(y)−exsin⁡(x)2\int e^{x} \left(x \cos{\left(x \right)} - y \sin{\left(y \right)}\right)\, dx = C + x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) - y e^{x} \sin{\left(y \right)} - \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
           E*cos(1)             
y*sin(y) + -------- - E*y*sin(y)
              2
−eysin⁡(y)+ysin⁡(y)+ecos⁡(1)2- e y \sin{\left(y \right)} + y \sin{\left(y \right)} + \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} 
=
= 
           E*cos(1)             
y*sin(y) + -------- - E*y*sin(y)
              2
−eysin⁡(y)+ysin⁡(y)+ecos⁡(1)2- e y \sin{\left(y \right)} + y \sin{\left(y \right)} + \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} 
y*sin(y) + E*cos(1)/2 - E*y*sin(y)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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