Integral de x/sqrt^4((16+x^2)^5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(\sqrt{\left(x^{2} + 16\right)^{5}}\right)^{4}} = \frac{x}{x^{20} + 160 x^{18} + 11520 x^{16} + 491520 x^{14} + 13762560 x^{12} + 264241152 x^{10} + 3523215360 x^{8} + 32212254720 x^{6} + 193273528320 x^{4} + 687194767360 x^{2} + 1099511627776}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u^{10} + 320 u^{9} + 23040 u^{8} + 983040 u^{7} + 27525120 u^{6} + 528482304 u^{5} + 7046430720 u^{4} + 64424509440 u^{3} + 386547056640 u^{2} + 1374389534720 u + 2199023255552}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{2 u^{10} + 320 u^{9} + 23040 u^{8} + 983040 u^{7} + 27525120 u^{6} + 528482304 u^{5} + 7046430720 u^{4} + 64424509440 u^{3} + 386547056640 u^{2} + 1374389534720 u + 2199023255552} = \frac{1}{2 \left(u + 16\right)^{10}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(u + 16\right)^{10}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 16\right)^{10}}\, du}{2}$

         1. que $u = u + 16$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{10}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{10}}\, du = - \frac{1}{9 u^{9}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{9 \left(u + 16\right)^{9}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{18 \left(u + 16\right)^{9}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{18 \left(x^{2} + 16\right)^{9}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(\sqrt{\left(x^{2} + 16\right)^{5}}\right)^{4}} = \frac{x}{x^{20} + 160 x^{18} + 11520 x^{16} + 491520 x^{14} + 13762560 x^{12} + 264241152 x^{10} + 3523215360 x^{8} + 32212254720 x^{6} + 193273528320 x^{4} + 687194767360 x^{2} + 1099511627776}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u^{10} + 320 u^{9} + 23040 u^{8} + 983040 u^{7} + 27525120 u^{6} + 528482304 u^{5} + 7046430720 u^{4} + 64424509440 u^{3} + 386547056640 u^{2} + 1374389534720 u + 2199023255552}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{2 u^{10} + 320 u^{9} + 23040 u^{8} + 983040 u^{7} + 27525120 u^{6} + 528482304 u^{5} + 7046430720 u^{4} + 64424509440 u^{3} + 386547056640 u^{2} + 1374389534720 u + 2199023255552} = \frac{1}{2 \left(u + 16\right)^{10}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(u + 16\right)^{10}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 16\right)^{10}}\, du}{2}$

         1. que $u = u + 16$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{10}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{10}}\, du = - \frac{1}{9 u^{9}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{9 \left(u + 16\right)^{9}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{18 \left(u + 16\right)^{9}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{18 \left(x^{2} + 16\right)^{9}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{18 \left(x^{2} + 16\right)^{9}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{18 \left(x^{2} + 16\right)^{9}}+ \mathrm{constant}$