Integral de x(cosx+x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(x + \cos{\left(x \right)}\right) = x^{2} + x \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} + x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} + x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$