Sr Examen

Integral de (-xcos(x)+x)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 pi                   
  /                   
 |                    
 |  (-x*cos(x) + x) dx
 |                    
/                     
0                     
0π(xcos(x)+x)dx\int\limits_{0}^{\pi} \left(- x \cos{\left(x \right)} + x\right)\, dx
Integral((-x)*cos(x) + x, (x, 0, pi))
Solución detallada
  1. Integramos término a término:

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = - x y que dv(x)=cos(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (sin(x))dx=sin(x)dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: cos(x)\cos{\left(x \right)}

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

      xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    El resultado es: x22xsin(x)cos(x)\frac{x^{2}}{2} - x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x22xsin(x)cos(x)+constant\frac{x^{2}}{2} - x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x22xsin(x)cos(x)+constant\frac{x^{2}}{2} - x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                          2                    
 |                          x                     
 | (-x*cos(x) + x) dx = C + -- - cos(x) - x*sin(x)
 |                          2                     
/                                                 
(xcos(x)+x)dx=C+x22xsin(x)cos(x)\int \left(- x \cos{\left(x \right)} + x\right)\, dx = C + \frac{x^{2}}{2} - x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.00-1010
Respuesta [src]
      2
    pi 
2 + ---
     2 
2+π222 + \frac{\pi^{2}}{2}
=
=
      2
    pi 
2 + ---
     2 
2+π222 + \frac{\pi^{2}}{2}
2 + pi^2/2
Respuesta numérica [src]
6.93480220054468
6.93480220054468

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.