Integral de 5^sqrt(7-2x)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(\sqrt{7 - 2 x}\right)^{2}$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{5^{u}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5^{u}\, du = - \frac{\int 5^{u}\, du}{2}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5^{u}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{5^{\left(\sqrt{7 - 2 x}\right)^{2}}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{\left(\sqrt{7 - 2 x}\right)^{2}} = 78125 \cdot 5^{- 2 x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 78125 \cdot 5^{- 2 x}\, dx = 78125 \int 5^{- 2 x}\, dx$

      1. que $u = - 2 x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{5^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5^{u}\, du = - \frac{\int 5^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5^{u}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{5^{- 2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{78125 \cdot 5^{- 2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{\left(\sqrt{7 - 2 x}\right)^{2}} = 78125 \cdot 5^{- 2 x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 78125 \cdot 5^{- 2 x}\, dx = 78125 \int 5^{- 2 x}\, dx$

      1. que $u = - 2 x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{5^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5^{u}\, du = - \frac{\int 5^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5^{u}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{5^{- 2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{78125 \cdot 5^{- 2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{5^{7 - 2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{5^{7 - 2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{5^{7 - 2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$