Sr Examen
Integral de cos(n*x)*exp(-(i*k*x)-abs(x)) dx
Solución
Ha introducido
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oo / | | -I*k*x - |x| | cos(n*x)*e dx | / -oo
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- x i k - \left|{x}\right|} \cos{\left(n x \right)}\, dx$$
Integral(cos(n*x)*exp(-i*k*x - |x|), (x, -oo, oo))
Respuesta (Indefinida)
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/ / | | | -I*k*x - |x| | -|x| -I*k*x | cos(n*x)*e dx = C + | cos(n*x)*e *e dx | | / /
$$\int e^{- x i k - \left|{x}\right|} \cos{\left(n x \right)}\, dx = C + \int e^{- i k x} e^{- \left|{x}\right|} \cos{\left(n x \right)}\, dx$$
Respuesta
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/ /1 I*k\ /1 I*k\ / | / -pi*I \| | / pi*I\| \ | 4*|- + ---| 4*|- - ---| | | | ------|| | | ----|| | | \4 4 / \4 4 / | | | 2 || | | 2 || | |--------------------------- + --------------------------- for And\2*|arg(n)| = 0, 2*|arg\1 - k*e /| < pi, 2*|arg\1 - k*e /| < pi/ | / 2 \ / 2 \ | 2 | n | | n | 2 |(1 + I*k) *|1 + ----------| |1 + ----------|*(1 - I*k) | | 2| | 2| | \ (1 + I*k) / \ (1 - I*k) / < | oo | / | | | | -|x| - I*k*x | | cos(n*x)*e dx otherwise | | | / | -oo \
$$\begin{cases} \frac{4 \left(\frac{i k}{4} + \frac{1}{4}\right)}{\left(i k + 1\right)^{2} \left(\frac{n^{2}}{\left(i k + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{4 \left(- \frac{i k}{4} + \frac{1}{4}\right)}{\left(- i k + 1\right)^{2} \left(\frac{n^{2}}{\left(- i k + 1\right)^{2}} + 1\right)} & \text{for}\: 2 \left|{\arg{\left(n \right)}}\right| = 0 \wedge 2 \left|{\arg{\left(- k e^{- \frac{i \pi}{2}} + 1 \right)}}\right| < \pi \wedge 2 \left|{\arg{\left(- k e^{\frac{i \pi}{2}} + 1 \right)}}\right| < \pi \\\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- i k x - \left|{x}\right|} \cos{\left(n x \right)}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}$$
=
=
/ /1 I*k\ /1 I*k\ / | / -pi*I \| | / pi*I\| \ | 4*|- + ---| 4*|- - ---| | | | ------|| | | ----|| | | \4 4 / \4 4 / | | | 2 || | | 2 || | |--------------------------- + --------------------------- for And\2*|arg(n)| = 0, 2*|arg\1 - k*e /| < pi, 2*|arg\1 - k*e /| < pi/ | / 2 \ / 2 \ | 2 | n | | n | 2 |(1 + I*k) *|1 + ----------| |1 + ----------|*(1 - I*k) | | 2| | 2| | \ (1 + I*k) / \ (1 - I*k) / < | oo | / | | | | -|x| - I*k*x | | cos(n*x)*e dx otherwise | | | / | -oo \
$$\begin{cases} \frac{4 \left(\frac{i k}{4} + \frac{1}{4}\right)}{\left(i k + 1\right)^{2} \left(\frac{n^{2}}{\left(i k + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{4 \left(- \frac{i k}{4} + \frac{1}{4}\right)}{\left(- i k + 1\right)^{2} \left(\frac{n^{2}}{\left(- i k + 1\right)^{2}} + 1\right)} & \text{for}\: 2 \left|{\arg{\left(n \right)}}\right| = 0 \wedge 2 \left|{\arg{\left(- k e^{- \frac{i \pi}{2}} + 1 \right)}}\right| < \pi \wedge 2 \left|{\arg{\left(- k e^{\frac{i \pi}{2}} + 1 \right)}}\right| < \pi \\\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- i k x - \left|{x}\right|} \cos{\left(n x \right)}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise((4*(1/4 + i*k/4)/((1 + i*k)^2*(1 + n^2/(1 + i*k)^2)) + 4*(1/4 - i*k/4)/((1 + n^2/(1 - i*k)^2)*(1 - i*k)^2), (2*Abs(arg(n)) = 0))∧(2*Abs(arg(1 - k*exp_polar(-pi*i/2))) < pi)∧(2*Abs(arg(1 - k*exp_polar(pi*i/2))) < pi), (Integral(cos(n*x)*exp(-|x| - i*k*x), (x, -oo, oo)), True))
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.