Integral de 1/x^2*sqrt(x)/sqrt(x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{u^{2} \sqrt{u^{2} - 1}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{2} \sqrt{u^{2} - 1}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2} \sqrt{u^{2} - 1}}\, du$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sec(_theta), rewritten=cos(_theta), substep=TrigRule(func='cos', arg=_theta, context=cos(_theta), symbol=_theta), restriction=(_u > -1) & (_u < 1), context=1/(_u**2*sqrt(_u**2 - 1)), symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u} & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}\right)$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}\right)$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{x - 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 1}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{\left(u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\, du = 2 \int \frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{u^{2} \sqrt{u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} + 1}}$

               TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=cos(_theta), substep=TrigRule(func='cos', arg=_theta, context=cos(_theta), symbol=_theta), restriction=True, context=1/(_u**2*sqrt(_u**2 + 1) + sqrt(_u**2 + 1)), symbol=_u)

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{u^{2} \sqrt{u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} + 1}}$

               TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=cos(_theta), substep=TrigRule(func='cos', arg=_theta, context=cos(_theta), symbol=_theta), restriction=True, context=1/(_u**2*sqrt(_u**2 + 1) + sqrt(_u**2 + 1)), symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{\sqrt{u^{2} + 1}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{2 \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{2 \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{2 \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$