Integral de (th(x))^3 dx

1. que $u = \tanh{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \left(1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}\right) dx$ y ponemos $- du$:

   $\int \left(- \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = u^{2}$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u}{2 u - 2}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{2 u - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$

                  1. que $u = u - 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u - 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

               El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{2}}{2} + \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{3}}{u^{2} - 1} = u + \frac{1}{2 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$

               1. que $u = u - 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u - 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{\log{\left(\tanh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\log{\left(- \frac{1}{\cosh^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(- \frac{1}{\cosh^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(- \frac{1}{\cosh^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$