Sr Examen

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Resolución de integrales/ (-x+1)/ (-x+1)*exp(-5*x)

Integral de (-x+1)*exp(-5*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |            -5*x   
 |  (-x + 1)*e     dx
 |                   
/                    
0
∫01(1−x)e−5x dx\int\limits_{0}^{1} \left(1 - x\right) e^{- 5 x}\, dx 
Integral((-x + 1)*exp(-5*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(−ue5u−e5u) du\int \left(- u e^{5 u} - e^{5 u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−ue5u) du=−∫ue5u du\int \left(- u e^{5 u}\right)\, du = - \int u e^{5 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e5u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{5 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=5uu = 5 u.

              Luego que du=5dudu = 5 du y ponemos du5\frac{du}{5}:

              ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e5u5\frac{e^{5 u}}{5}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e5u5 du=∫e5u du5\int \frac{e^{5 u}}{5}\, du = \frac{\int e^{5 u}\, du}{5}

            1. que u=5uu = 5 u.

              Luego que du=5dudu = 5 du y ponemos du5\frac{du}{5}:

              ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e5u5\frac{e^{5 u}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: e5u25\frac{e^{5 u}}{25}

          Por lo tanto, el resultado es: −ue5u5+e5u25- \frac{u e^{5 u}}{5} + \frac{e^{5 u}}{25}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−e5u) du=−∫e5u du\int \left(- e^{5 u}\right)\, du = - \int e^{5 u}\, du

          1. que u=5uu = 5 u.

            Luego que du=5dudu = 5 du y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5u5\frac{e^{5 u}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −e5u5- \frac{e^{5 u}}{5}

        El resultado es: −ue5u5−4e5u25- \frac{u e^{5 u}}{5} - \frac{4 e^{5 u}}{25}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xe−5x5−4e−5x25\frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{4 e^{- 5 x}}{25}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−x)e−5x=−(x−1)e−5x\left(1 - x\right) e^{- 5 x} = - \left(x - 1\right) e^{- 5 x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−(x−1)e−5x) dx=−∫(x−1)e−5x dx\int \left(- \left(x - 1\right) e^{- 5 x}\right)\, dx = - \int \left(x - 1\right) e^{- 5 x}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x−1u{\left(x \right)} = x - 1 y que dv⁡(x)=e−5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 5 x}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−5xu = - 5 x.

          Luego que du=−5dxdu = - 5 dx y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

          ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−5x5- \frac{e^{- 5 x}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e−5x5) dx=−∫e−5x dx5\int \left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 5 x}\, dx}{5}

        1. que u=−5xu = - 5 x.

          Luego que du=−5dxdu = - 5 dx y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

          ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−5x5- \frac{e^{- 5 x}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: e−5x25\frac{e^{- 5 x}}{25}

      Por lo tanto, el resultado es: (x−1)e−5x5+e−5x25\frac{\left(x - 1\right) e^{- 5 x}}{5} + \frac{e^{- 5 x}}{25}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=1−xu{\left(x \right)} = 1 - x y que dv⁡(x)=e−5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 5 x}.

      Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=−5xu = - 5 x.

        Luego que du=−5dxdu = - 5 dx y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

        ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−5x5- \frac{e^{- 5 x}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e−5x5 dx=∫e−5x dx5\int \frac{e^{- 5 x}}{5}\, dx = \frac{\int e^{- 5 x}\, dx}{5}

      1. que u=−5xu = - 5 x.

        Luego que du=−5dxdu = - 5 dx y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

        ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−5x5- \frac{e^{- 5 x}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −e−5x25- \frac{e^{- 5 x}}{25}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−x)e−5x=−xe−5x+e−5x\left(1 - x\right) e^{- 5 x} = - x e^{- 5 x} + e^{- 5 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xe−5x) dx=−∫xe−5x dx\int \left(- x e^{- 5 x}\right)\, dx = - \int x e^{- 5 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e−5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 5 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−5xu = - 5 x.

            Luego que du=−5dxdu = - 5 dx y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

            ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−5x5- \frac{e^{- 5 x}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−e−5x5) dx=−∫e−5x dx5\int \left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 5 x}\, dx}{5}

          1. que u=−5xu = - 5 x.

            Luego que du=−5dxdu = - 5 dx y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

            ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−5x5- \frac{e^{- 5 x}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: e−5x25\frac{e^{- 5 x}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: xe−5x5+e−5x25\frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{e^{- 5 x}}{25}

      1. que u=−5xu = - 5 x.

        Luego que du=−5dxdu = - 5 dx y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

        ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−5x5- \frac{e^{- 5 x}}{5}

      El resultado es: xe−5x5−4e−5x25\frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{4 e^{- 5 x}}{25}

  2. Ahora simplificar:

    (5x−4)e−5x25\frac{\left(5 x - 4\right) e^{- 5 x}}{25}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (5x−4)e−5x25+constant\frac{\left(5 x - 4\right) e^{- 5 x}}{25}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(5x−4)e−5x25+constant\frac{\left(5 x - 4\right) e^{- 5 x}}{25}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                            -5*x      -5*x
 |           -5*x          4*e       x*e    
 | (-x + 1)*e     dx = C - ------- + -------
 |                            25        5   
/
∫(1−x)e−5x dx=C+xe−5x5−4e−5x25\int \left(1 - x\right) e^{- 5 x}\, dx = C + \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{4 e^{- 5 x}}{25}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      -5
4    e  
-- + ---
25    25
125e5+425\frac{1}{25 e^{5}} + \frac{4}{25} 
=
= 
      -5
4    e  
-- + ---
25    25
125e5+425\frac{1}{25 e^{5}} + \frac{4}{25} 
4/25 + exp(-5)/25
Respuesta numérica [src] 
0.160269517879963
0.160269517879963

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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