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Resolución de integrales/ 2*sinx/ (1+√2*sinx)^2

Integral de (1+√2*sinx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                      
   /                       
  |                        
  |                    2   
  |  /      ___       \    
  |  \1 + \/ 2 *sin(x)/  dx
  |                        
 /                         
 0
∫02π(2sin⁡(x)+1)2 dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}\, dx 
Integral((1 + sqrt(2)*sin(x))^2, (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2sin⁡(x)+1)2=2sin⁡2(x)+22sin⁡(x)+1\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sqrt{2} \sin{\left(x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡2(x) dx=2∫sin⁡2(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x−sin⁡(2x)2x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫22sin⁡(x) dx=22∫sin⁡(x) dx\int 2 \sqrt{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \sqrt{2} \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −22cos⁡(x)- 2 \sqrt{2} \cos{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 2x−sin⁡(2x)2−22cos⁡(x)2 x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - 2 \sqrt{2} \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2sin⁡(x)+1)2=2sin⁡2(x)+22sin⁡(x)+1\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sqrt{2} \sin{\left(x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡2(x) dx=2∫sin⁡2(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x−sin⁡(2x)2x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫22sin⁡(x) dx=22∫sin⁡(x) dx\int 2 \sqrt{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \sqrt{2} \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −22cos⁡(x)- 2 \sqrt{2} \cos{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 2x−sin⁡(2x)2−22cos⁡(x)2 x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - 2 \sqrt{2} \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2x−sin⁡(2x)2−22cos⁡(x)+constant2 x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - 2 \sqrt{2} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x−sin⁡(2x)2−22cos⁡(x)+constant2 x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - 2 \sqrt{2} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
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 |                   2                                         
 | /      ___       \                 sin(2*x)       ___       
 | \1 + \/ 2 *sin(x)/  dx = C + 2*x - -------- - 2*\/ 2 *cos(x)
 |                                       2                     
/
∫(2sin⁡(x)+1)2 dx=C+2x−sin⁡(2x)2−22cos⁡(x)\int \left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}\, dx = C + 2 x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - 2 \sqrt{2} \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
4*pi
4π4 \pi 
=
= 
4*pi
4π4 \pi 
4*pi
Respuesta numérica [src] 
12.5663706143592
12.5663706143592

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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