Integral de 2*x^4/sqrt(1-x) dx

1. que $u = \sqrt{1 - x}$.

   Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - x}}$ y ponemos $- 4 du$:

   $\int \left(- 4 \left(1 - u^{2}\right)^{4}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(1 - u^{2}\right)^{4}\, du = - 4 \int \left(1 - u^{2}\right)^{4}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - u^{2}\right)^{4} = u^{8} - 4 u^{6} + 6 u^{4} - 4 u^{2} + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u^{6}\right)\, du = - 4 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{4}\, du = 6 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u^{2}\right)\, du = - 4 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{4 u^{7}}{7} + \frac{6 u^{5}}{5} - \frac{4 u^{3}}{3} + u$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{9}}{9} + \frac{16 u^{7}}{7} - \frac{24 u^{5}}{5} + \frac{16 u^{3}}{3} - 4 u$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{4 \left(1 - x\right)^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{16 \left(1 - x\right)^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{24 \left(1 - x\right)^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 \sqrt{1 - x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{4 \sqrt{1 - x} \left(35 x^{4} + 40 x^{3} + 48 x^{2} + 64 x + 128\right)}{315}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4 \sqrt{1 - x} \left(35 x^{4} + 40 x^{3} + 48 x^{2} + 64 x + 128\right)}{315}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4 \sqrt{1 - x} \left(35 x^{4} + 40 x^{3} + 48 x^{2} + 64 x + 128\right)}{315}+ \mathrm{constant}$