Integral de 1/(1+sqrt(3)(x+1)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{3} \left(x + 1\right) + 1$.

      Luego que $du = \sqrt{3} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{3} du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{3}}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} \left(x + 1\right) + 1 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt{3} \left(x + 1\right) + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3}}$

   2. que $u = \sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3}$.

      Luego que $du = \sqrt{3} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{3} du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{3}}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3} \right)}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt{3} \left(x + 1\right) + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3}}$

   2. que $u = \sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3}$.

      Luego que $du = \sqrt{3} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{3} du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{3}}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3} \right)}}{3}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt{3} \left(x + 1\right) + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3}}$

   2. que $u = \sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3}$.

      Luego que $du = \sqrt{3} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{3} du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{3}}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3} \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} \left(x + 1\right) + 1 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} \left(x + 1\right) + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} \left(x + 1\right) + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$