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Resolución de integrales/ cos^2/ sin^4/ sin^4(5x)*cos^2(5x)

Integral de sin^4(5x)*cos^2(5x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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 |  sin (5*x)*cos (5*x) dx
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0
∫00sin⁡4(5x)cos⁡2(5x) dx\int\limits_{0}^{0} \sin^{4}{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\, dx 
Integral(sin(5*x)^4*cos(5*x)^2, (x, 0, 0))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡4(5x)cos⁡2(5x)=(12−cos⁡(10x)2)2(cos⁡(10x)2+12)\sin^{4}{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=10xu = 10 x.

      Luego que du=10dxdu = 10 dx y ponemos dudu:

      ∫(cos⁡3(u)80−cos⁡2(u)80−cos⁡(u)80+180) du\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{80} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{80} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{80} + \frac{1}{80}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡3(u)80 du=∫cos⁡3(u) du80\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{80}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{80}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡3(u)=(1−sin⁡2(u))cos⁡(u)\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}

          2. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(u)3+sin⁡(u)- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(u)240+sin⁡(u)80- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{240} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{80}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡2(u)80) du=−∫cos⁡2(u) du80\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{80}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{80}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u160−sin⁡(2u)320- \frac{u}{160} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{320}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(u)80) du=−∫cos⁡(u) du80\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{80}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{80}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)80- \frac{\sin{\left(u \right)}}{80}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫180 du=u80\int \frac{1}{80}\, du = \frac{u}{80}

        El resultado es: u160−sin⁡(2u)320−sin⁡3(u)240\frac{u}{160} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{240}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x16−sin⁡3(10x)240−sin⁡(20x)320\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{320}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(10x)2)2(cos⁡(10x)2+12)=cos⁡3(10x)8−cos⁡2(10x)8−cos⁡(10x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(10 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡3(10x)8 dx=∫cos⁡3(10x) dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(10 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(10 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(10x)=(1−sin⁡2(10x))cos⁡(10x)\cos^{3}{\left(10 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(10 x \right)}\right) \cos{\left(10 x \right)}

        2. que u=sin⁡(10x)u = \sin{\left(10 x \right)}.

          Luego que du=10cos⁡(10x)dxdu = 10 \cos{\left(10 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(110−u210) du\int \left(\frac{1}{10} - \frac{u^{2}}{10}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫110 du=u10\int \frac{1}{10}\, du = \frac{u}{10}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u210) du=−∫u2 du10\int \left(- \frac{u^{2}}{10}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{10}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u330- \frac{u^{3}}{30}

            El resultado es: −u330+u10- \frac{u^{3}}{30} + \frac{u}{10}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(10x)30+sin⁡(10x)10- \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{30} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(10x)240+sin⁡(10x)80- \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{240} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{80}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(10x)8) dx=−∫cos⁡2(10x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(10 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(10x)=cos⁡(20x)2+12\cos^{2}{\left(10 x \right)} = \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(20x)2 dx=∫cos⁡(20x) dx2\int \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(20 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=20xu = 20 x.

              Luego que du=20dxdu = 20 dx y ponemos du20\frac{du}{20}:

              ∫cos⁡(u)20 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{20}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du20\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{20}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)20\frac{\sin{\left(u \right)}}{20}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(20x)20\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{20}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(20x)40\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(20x)40\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}

        Por lo tanto, el resultado es: −x16−sin⁡(20x)320- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{320}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(10x)8) dx=−∫cos⁡(10x) dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(10 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=10xu = 10 x.

          Luego que du=10dxdu = 10 dx y ponemos du10\frac{du}{10}:

          ∫cos⁡(u)10 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du10\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)10\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(10x)10\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(10x)80- \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{80}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: x16−sin⁡3(10x)240−sin⁡(20x)320\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{320}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(10x)2)2(cos⁡(10x)2+12)=cos⁡3(10x)8−cos⁡2(10x)8−cos⁡(10x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(10 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡3(10x)8 dx=∫cos⁡3(10x) dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(10 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(10 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(10x)=(1−sin⁡2(10x))cos⁡(10x)\cos^{3}{\left(10 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(10 x \right)}\right) \cos{\left(10 x \right)}

        2. que u=sin⁡(10x)u = \sin{\left(10 x \right)}.

          Luego que du=10cos⁡(10x)dxdu = 10 \cos{\left(10 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(110−u210) du\int \left(\frac{1}{10} - \frac{u^{2}}{10}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫110 du=u10\int \frac{1}{10}\, du = \frac{u}{10}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u210) du=−∫u2 du10\int \left(- \frac{u^{2}}{10}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{10}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u330- \frac{u^{3}}{30}

            El resultado es: −u330+u10- \frac{u^{3}}{30} + \frac{u}{10}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(10x)30+sin⁡(10x)10- \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{30} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(10x)240+sin⁡(10x)80- \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{240} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{80}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(10x)8) dx=−∫cos⁡2(10x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(10 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(10x)=cos⁡(20x)2+12\cos^{2}{\left(10 x \right)} = \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(20x)2 dx=∫cos⁡(20x) dx2\int \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(20 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=20xu = 20 x.

              Luego que du=20dxdu = 20 dx y ponemos du20\frac{du}{20}:

              ∫cos⁡(u)20 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{20}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du20\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{20}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)20\frac{\sin{\left(u \right)}}{20}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(20x)20\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{20}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(20x)40\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(20x)40\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}

        Por lo tanto, el resultado es: −x16−sin⁡(20x)320- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{320}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(10x)8) dx=−∫cos⁡(10x) dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(10 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=10xu = 10 x.

          Luego que du=10dxdu = 10 dx y ponemos du10\frac{du}{10}:

          ∫cos⁡(u)10 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du10\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)10\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(10x)10\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(10x)80- \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{80}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: x16−sin⁡3(10x)240−sin⁡(20x)320\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{320}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x16−sin⁡3(10x)240−sin⁡(20x)320+constant\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{320}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x16−sin⁡3(10x)240−sin⁡(20x)320+constant\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{320}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                                 3                       
 |    4         2               sin (10*x)   sin(20*x)   x 
 | sin (5*x)*cos (5*x) dx = C - ---------- - --------- + --
 |                                 240          320      16
/
∫sin⁡4(5x)cos⁡2(5x) dx=C+x16−sin⁡3(10x)240−sin⁡(20x)320\int \sin^{4}{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(10 x \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{320}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9001
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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