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Resolución de integrales/ sin(2*x)/ (3x-1)/ exp(3x-1)*sin(2*x)

Integral de exp(3x-1)*sin(2*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |   3*x - 1            
 |  e       *sin(2*x) dx
 |                      
/                       
0
∫01e3x−1sin⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{3 x - 1} \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(exp(3*x - 1)*sin(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e3x−1sin⁡(2x)=e3xsin⁡(2x)ee^{3 x - 1} \sin{\left(2 x \right)} = \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{e}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e3xsin⁡(2x)e dx=∫e3xsin⁡(2x) dxe\int \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{e}\, dx = \frac{\int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{e}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando e3xsin⁡(2x)e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}:

          que u(x)=sin⁡(2x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

          Entonces ∫e3xsin⁡(2x) dx=e3xsin⁡(2x)3−∫2e3xcos⁡(2x)3 dx\int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}\, dx.

        2. Para el integrando 2e3xcos⁡(2x)3\frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}:

          que u(x)=2cos⁡(2x)3u{\left(x \right)} = \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{3} y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

          Entonces ∫e3xsin⁡(2x) dx=e3xsin⁡(2x)3−2e3xcos⁡(2x)9+∫(−4e3xsin⁡(2x)9) dx\int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{9} + \int \left(- \frac{4 e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{9}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          13∫e3xsin⁡(2x) dx9=e3xsin⁡(2x)3−2e3xcos⁡(2x)9\frac{13 \int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{9} = \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{9}

          Por lo tanto,

          ∫e3xsin⁡(2x) dx=3e3xsin⁡(2x)13−2e3xcos⁡(2x)13\int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{3 e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{13} - \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{13}

      Por lo tanto, el resultado es: 3e3xsin⁡(2x)13−2e3xcos⁡(2x)13e\frac{\frac{3 e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{13} - \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{13}}{e}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e3x−1sin⁡(2x)=e3xsin⁡(2x)ee^{3 x - 1} \sin{\left(2 x \right)} = \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{e}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e3xsin⁡(2x)e dx=∫e3xsin⁡(2x) dxe\int \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{e}\, dx = \frac{\int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{e}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando e3xsin⁡(2x)e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}:

          que u(x)=sin⁡(2x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

          Entonces ∫e3xsin⁡(2x) dx=e3xsin⁡(2x)3−∫2e3xcos⁡(2x)3 dx\int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}\, dx.

        2. Para el integrando 2e3xcos⁡(2x)3\frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}:

          que u(x)=2cos⁡(2x)3u{\left(x \right)} = \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{3} y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

          Entonces ∫e3xsin⁡(2x) dx=e3xsin⁡(2x)3−2e3xcos⁡(2x)9+∫(−4e3xsin⁡(2x)9) dx\int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{9} + \int \left(- \frac{4 e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{9}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          13∫e3xsin⁡(2x) dx9=e3xsin⁡(2x)3−2e3xcos⁡(2x)9\frac{13 \int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{9} = \frac{e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{9}

          Por lo tanto,

          ∫e3xsin⁡(2x) dx=3e3xsin⁡(2x)13−2e3xcos⁡(2x)13\int e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{3 e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{13} - \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{13}

      Por lo tanto, el resultado es: 3e3xsin⁡(2x)13−2e3xcos⁡(2x)13e\frac{\frac{3 e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{13} - \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{13}}{e}

  2. Ahora simplificar:

    (3sin⁡(2x)−2cos⁡(2x))e3x−113\frac{\left(3 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x - 1}}{13}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (3sin⁡(2x)−2cos⁡(2x))e3x−113+constant\frac{\left(3 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x - 1}}{13}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(3sin⁡(2x)−2cos⁡(2x))e3x−113+constant\frac{\left(3 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x - 1}}{13}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                    
 |                            /              3*x      3*x         \    
 |  3*x - 1                   |  2*cos(2*x)*e      3*e   *sin(2*x)|  -1
 | e       *sin(2*x) dx = C + |- --------------- + ---------------|*e  
 |                            \         13                13      /    
/
∫e3x−1sin⁡(2x) dx=C+3e3xsin⁡(2x)13−2e3xcos⁡(2x)13e\int e^{3 x - 1} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{\frac{3 e^{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{13} - \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(2 x \right)}}{13}}{e}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-510
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   -1             2      2       
2*e     2*cos(2)*e    3*e *sin(2)
----- - ----------- + -----------
  13         13            13
213e−2e2cos⁡(2)13+3e2sin⁡(2)13\frac{2}{13 e} - \frac{2 e^{2} \cos{\left(2 \right)}}{13} + \frac{3 e^{2} \sin{\left(2 \right)}}{13} 
=
= 
   -1             2      2       
2*e     2*cos(2)*e    3*e *sin(2)
----- - ----------- + -----------
  13         13            13
213e−2e2cos⁡(2)13+3e2sin⁡(2)13\frac{2}{13 e} - \frac{2 e^{2} \cos{\left(2 \right)}}{13} + \frac{3 e^{2} \sin{\left(2 \right)}}{13} 
2*exp(-1)/13 - 2*cos(2)*exp(2)/13 + 3*exp(2)*sin(2)/13
Respuesta numérica [src] 
2.08016712430049
2.08016712430049

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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