Integral de (x*cbrt(5x)-3)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x \sqrt[3]{5 x} - 3\right)^{3} = - 9 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{8}{3}} + 27 \sqrt[3]{5} x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{4} - 27$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 9 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{8}{3}}\right)\, dx = - 9 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \int x^{\frac{8}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{8}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{27 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{11}{3}}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 27 \sqrt[3]{5} x^{\frac{4}{3}}\, dx = 27 \sqrt[3]{5} \int x^{\frac{4}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{4}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 \sqrt[3]{5} x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{4}\, dx = 5 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{5}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-27\right)\, dx = - 27 x$

      El resultado es: $- \frac{27 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{11}{3}}}{11} + \frac{81 \sqrt[3]{5} x^{\frac{7}{3}}}{7} + x^{5} - 27 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x \sqrt[3]{5 x} - 3\right)^{3} = - 9 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{8}{3}} + 5 x^{4} + 27 x \sqrt[3]{5} \sqrt[3]{x} - 27$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 9 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{8}{3}}\right)\, dx = - 9 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \int x^{\frac{8}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{8}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{27 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{11}{3}}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{4}\, dx = 5 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 27 x \sqrt[3]{5} \sqrt[3]{x}\, dx = 27 \int \sqrt[3]{5} \sqrt[3]{x} x\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt[3]{5} \sqrt[3]{x} x\, dx = \sqrt[3]{5} \int \sqrt[3]{x} x\, dx$

            1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

               $\int 3 u^{6}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{6}\, du = 3 \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sqrt[3]{5} x^{\frac{7}{3}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 \sqrt[3]{5} x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-27\right)\, dx = - 27 x$

      El resultado es: $- \frac{27 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{11}{3}}}{11} + \frac{81 \sqrt[3]{5} x^{\frac{7}{3}}}{7} + x^{5} - 27 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{27 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{11}{3}}}{11} + \frac{81 \sqrt[3]{5} x^{\frac{7}{3}}}{7} + x^{5} - 27 x+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{27 \cdot 5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{11}{3}}}{11} + \frac{81 \sqrt[3]{5} x^{\frac{7}{3}}}{7} + x^{5} - 27 x+ \mathrm{constant}$