Integral de cos(7x)/(5-sin(7x))^1/2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 x$.

      Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7 \sqrt{5 - \sin{\left(u \right)}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sqrt{5 - \sin{\left(u \right)}}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sqrt{5 - \sin{\left(u \right)}}}\, du}{7}$

         1. que $u = 5 - \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{5 - \sin{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sqrt{5 - \sin{\left(u \right)}}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \sqrt{5 - \sin{\left(7 x \right)}}}{7}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{5 - \sin{\left(7 x \right)}}$.

      Luego que $du = - \frac{7 \cos{\left(7 x \right)} dx}{2 \sqrt{5 - \sin{\left(7 x \right)}}}$ y ponemos $- \frac{2 du}{7}$:

      $\int \left(- \frac{2}{7}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \sqrt{5 - \sin{\left(7 x \right)}}}{7}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \sqrt{5 - \sin{\left(7 x \right)}}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \sqrt{5 - \sin{\left(7 x \right)}}}{7}+ \mathrm{constant}$