Integral de xe^xcos(8x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(8 x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando $e^{x} \cos{\left(8 x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(8 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(8 x \right)} - \int \left(- 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\right)\, dx$.

      2. Para el integrando $- 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = - 8 \sin{\left(8 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)} + e^{x} \cos{\left(8 x \right)} + \int \left(- 64 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\right)\, dx$.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

         $65 \int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)} + e^{x} \cos{\left(8 x \right)}$

         Por lo tanto,

         $\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = \frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{65} + \frac{e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{65}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{65}\, dx = \frac{8 \int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx}{65}$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{x} \sin{\left(8 x \right)}$:

            que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(8 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(8 x \right)} - \int 8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx$.

         2. Para el integrando $8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}$:

            que $u{\left(x \right)} = 8 \cos{\left(8 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(8 x \right)} - 8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)} + \int \left(- 64 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\right)\, dx$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $65 \int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(8 x \right)} - 8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{65} - \frac{8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{65}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{4225} - \frac{64 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{4225}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{65}\, dx = \frac{\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{65}$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{x} \cos{\left(8 x \right)}$:

            que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(8 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(8 x \right)} - \int \left(- 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\right)\, dx$.

         2. Para el integrando $- 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}$:

            que $u{\left(x \right)} = - 8 \sin{\left(8 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)} + e^{x} \cos{\left(8 x \right)} + \int \left(- 64 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\right)\, dx$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $65 \int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)} + e^{x} \cos{\left(8 x \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = \frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{65} + \frac{e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{65}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{4225} + \frac{e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{4225}$

   El resultado es: $\frac{16 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{4225} - \frac{63 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{4225}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(65 x \left(8 \sin{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right) - 16 \sin{\left(8 x \right)} + 63 \cos{\left(8 x \right)}\right) e^{x}}{4225}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(65 x \left(8 \sin{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right) - 16 \sin{\left(8 x \right)} + 63 \cos{\left(8 x \right)}\right) e^{x}}{4225}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(65 x \left(8 \sin{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right) - 16 \sin{\left(8 x \right)} + 63 \cos{\left(8 x \right)}\right) e^{x}}{4225}+ \mathrm{constant}$