Sr Examen

Integral de xe^xcos(8x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  x*E *cos(8*x) dx
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0                   
01exxcos(8x)dx\int\limits_{0}^{1} e^{x} x \cos{\left(8 x \right)}\, dx
Integral((x*E^x)*cos(8*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv(x)=excos(8x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(8 x \right)}.

    Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando excos(8x)e^{x} \cos{\left(8 x \right)}:

        que u(x)=cos(8x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(8 x \right)} y que dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces excos(8x)dx=excos(8x)(8exsin(8x))dx\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(8 x \right)} - \int \left(- 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\right)\, dx.

      2. Para el integrando 8exsin(8x)- 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}:

        que u(x)=8sin(8x)u{\left(x \right)} = - 8 \sin{\left(8 x \right)} y que dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces excos(8x)dx=8exsin(8x)+excos(8x)+(64excos(8x))dx\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)} + e^{x} \cos{\left(8 x \right)} + \int \left(- 64 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\right)\, dx.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        65excos(8x)dx=8exsin(8x)+excos(8x)65 \int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)} + e^{x} \cos{\left(8 x \right)}

        Por lo tanto,

        excos(8x)dx=8exsin(8x)65+excos(8x)65\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = \frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{65} + \frac{e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{65}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      8exsin(8x)65dx=8exsin(8x)dx65\int \frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{65}\, dx = \frac{8 \int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx}{65}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando exsin(8x)e^{x} \sin{\left(8 x \right)}:

          que u(x)=sin(8x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(8 x \right)} y que dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces exsin(8x)dx=exsin(8x)8excos(8x)dx\int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(8 x \right)} - \int 8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx.

        2. Para el integrando 8excos(8x)8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}:

          que u(x)=8cos(8x)u{\left(x \right)} = 8 \cos{\left(8 x \right)} y que dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces exsin(8x)dx=exsin(8x)8excos(8x)+(64exsin(8x))dx\int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(8 x \right)} - 8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)} + \int \left(- 64 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          65exsin(8x)dx=exsin(8x)8excos(8x)65 \int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(8 x \right)} - 8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}

          Por lo tanto,

          exsin(8x)dx=exsin(8x)658excos(8x)65\int e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{65} - \frac{8 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{65}

      Por lo tanto, el resultado es: 8exsin(8x)422564excos(8x)4225\frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{4225} - \frac{64 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{4225}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      excos(8x)65dx=excos(8x)dx65\int \frac{e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{65}\, dx = \frac{\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{65}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando excos(8x)e^{x} \cos{\left(8 x \right)}:

          que u(x)=cos(8x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(8 x \right)} y que dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces excos(8x)dx=excos(8x)(8exsin(8x))dx\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(8 x \right)} - \int \left(- 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}\right)\, dx.

        2. Para el integrando 8exsin(8x)- 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}:

          que u(x)=8sin(8x)u{\left(x \right)} = - 8 \sin{\left(8 x \right)} y que dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces excos(8x)dx=8exsin(8x)+excos(8x)+(64excos(8x))dx\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)} + e^{x} \cos{\left(8 x \right)} + \int \left(- 64 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          65excos(8x)dx=8exsin(8x)+excos(8x)65 \int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)} + e^{x} \cos{\left(8 x \right)}

          Por lo tanto,

          excos(8x)dx=8exsin(8x)65+excos(8x)65\int e^{x} \cos{\left(8 x \right)}\, dx = \frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{65} + \frac{e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{65}

      Por lo tanto, el resultado es: 8exsin(8x)4225+excos(8x)4225\frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{4225} + \frac{e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{4225}

    El resultado es: 16exsin(8x)422563excos(8x)4225\frac{16 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{4225} - \frac{63 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{4225}

  3. Ahora simplificar:

    (65x(8sin(8x)+cos(8x))16sin(8x)+63cos(8x))ex4225\frac{\left(65 x \left(8 \sin{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right) - 16 \sin{\left(8 x \right)} + 63 \cos{\left(8 x \right)}\right) e^{x}}{4225}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (65x(8sin(8x)+cos(8x))16sin(8x)+63cos(8x))ex4225+constant\frac{\left(65 x \left(8 \sin{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right) - 16 \sin{\left(8 x \right)} + 63 \cos{\left(8 x \right)}\right) e^{x}}{4225}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

(65x(8sin(8x)+cos(8x))16sin(8x)+63cos(8x))ex4225+constant\frac{\left(65 x \left(8 \sin{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right) - 16 \sin{\left(8 x \right)} + 63 \cos{\left(8 x \right)}\right) e^{x}}{4225}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 |                          /          x      x         \       x                         x
 |    x                     |cos(8*x)*e    8*e *sin(8*x)|   16*e *sin(8*x)   63*cos(8*x)*e 
 | x*E *cos(8*x) dx = C + x*|----------- + -------------| - -------------- + --------------
 |                          \     65             65     /        4225             4225     
/                                                                                          
exxcos(8x)dx=C+x(8exsin(8x)65+excos(8x)65)16exsin(8x)4225+63excos(8x)4225\int e^{x} x \cos{\left(8 x \right)}\, dx = C + x \left(\frac{8 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{65} + \frac{e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{65}\right) - \frac{16 e^{x} \sin{\left(8 x \right)}}{4225} + \frac{63 e^{x} \cos{\left(8 x \right)}}{4225}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Respuesta [src]
   63    128*E*cos(8)   504*E*sin(8)
- ---- + ------------ + ------------
  4225       4225           4225    
634225+128ecos(8)4225+504esin(8)4225- \frac{63}{4225} + \frac{128 e \cos{\left(8 \right)}}{4225} + \frac{504 e \sin{\left(8 \right)}}{4225}
=
=
   63    128*E*cos(8)   504*E*sin(8)
- ---- + ------------ + ------------
  4225       4225           4225    
634225+128ecos(8)4225+504esin(8)4225- \frac{63}{4225} + \frac{128 e \cos{\left(8 \right)}}{4225} + \frac{504 e \sin{\left(8 \right)}}{4225}
-63/4225 + 128*E*cos(8)/4225 + 504*E*sin(8)/4225
Respuesta numérica [src]
0.293919384012818
0.293919384012818

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.