Integral de 3*dx/(x-x^3) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{3}{- x^{3} + x}\, dx = 3 \int \frac{1}{- x^{3} + x}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{- x^{3} + x} = - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         El resultado es: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{- x^{3} + x} = - \frac{1}{x^{3} - x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{3} - x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} - x}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{x^{3} - x} = \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$

               1. que $u = x + 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

               1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x \right)} - \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 \log{\left(x \right)} - \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \log{\left(x \right)} - \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$