Integral de y^3(a^2-y^2)dy dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - y^{2}$.

      Luego que $du = - 2 y dy$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{a^{2} u}{2} + \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u a^{2}}{2}\, du = \frac{a^{2} \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} a^{2}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{6} + \frac{u^{2} a^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{a^{2} y^{4}}{4} - \frac{y^{6}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $y^{3} \left(a^{2} - y^{2}\right) = a^{2} y^{3} - y^{5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int a^{2} y^{3}\, dy = a^{2} \int y^{3}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a^{2} y^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- y^{5}\right)\, dy = - \int y^{5}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{5}\, dy = \frac{y^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y^{6}}{6}$

      El resultado es: $\frac{a^{2} y^{4}}{4} - \frac{y^{6}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $y^{4} \left(\frac{a^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $y^{4} \left(\frac{a^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$y^{4} \left(\frac{a^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6}\right)+ \mathrm{constant}$