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Resolución de integrales/ x^2+2/ xcosx/ cos2x/ 2sinx/ sinx^2/ sinxcos/ sinx^2+2sinxcosx+cos2x

Integral de sinx^2+2sinxcosx+cos2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                          
  /                                          
 |                                           
 |  /   2                                \   
 |  \sin (x) + 2*sin(x)*cos(x) + cos(2*x)/ dx
 |                                           
/                                            
0
∫01((sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+cos⁡(2x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(sin(x)^2 + (2*sin(x))*cos(x) + cos(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos 2du2 du:

          ∫2u du\int 2 u\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=2∫u du\int u\, du = 2 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u2u^{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡2(x)\sin^{2}{\left(x \right)}

        Método #2

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −2du- 2 du:

          ∫(−2u) du\int \left(- 2 u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−2∫u du\int u\, du = - 2 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u2- u^{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

      El resultado es: x2+sin⁡2(x)−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

    El resultado es: x2+sin⁡2(x)+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2+sin⁡2(x)+sin⁡(2x)4+constant\frac{x}{2} + \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2+sin⁡2(x)+sin⁡(2x)4+constant\frac{x}{2} + \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                      
 |                                                                       
 | /   2                                \             2      x   sin(2*x)
 | \sin (x) + 2*sin(x)*cos(x) + cos(2*x)/ dx = C + sin (x) + - + --------
 |                                                           2      4    
/
∫((sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))+cos⁡(2x)) dx=C+x2+sin⁡2(x)+sin⁡(2x)4\int \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C + \frac{x}{2} + \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1      2      sin(2)   cos(1)*sin(1)
- + sin (1) + ------ - -------------
2               2            2
−sin⁡(1)cos⁡(1)2+sin⁡(2)2+12+sin⁡2(1)- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \sin^{2}{\left(1 \right)} 
=
= 
1      2      sin(2)   cos(1)*sin(1)
- + sin (1) + ------ - -------------
2               2            2
−sin⁡(1)cos⁡(1)2+sin⁡(2)2+12+sin⁡2(1)- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \sin^{2}{\left(1 \right)} 
1/2 + sin(1)^2 + sin(2)/2 - cos(1)*sin(1)/2
Respuesta numérica [src] 
1.43539777497999
1.43539777497999

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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