Integral de 9*18*sinxcosx+81(sinx)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 81 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 81 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x}{2} - \frac{81 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $162 du$:

         $\int 162 u\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = 162 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $81 u^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $81 \sin^{2}{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- 162 du$:

         $\int \left(- 162 u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - 162 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 81 u^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 81 \cos^{2}{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{81 x}{2} + 81 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{81 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{81 x}{2} + 81 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{81 \sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{81 x}{2} + 81 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{81 \sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$