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Resolución de integrales/ (sinx)/ xcosx/ sinxcos/ 9*18*sinxcosx+81(sinx)^2

Integral de 9*18*sinxcosx+81(sinx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                                    
  /                                    
 |                                     
 |  /                          2   \   
 |  \162*sin(x)*cos(x) + 81*sin (x)/ dx
 |                                     
/                                      
0
∫0π(81sin⁡2(x)+162sin⁡(x)cos⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{\pi} \left(81 \sin^{2}{\left(x \right)} + 162 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral((162*sin(x))*cos(x) + 81*sin(x)^2, (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫81sin⁡2(x) dx=81∫sin⁡2(x) dx\int 81 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 81 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 81x2−81sin⁡(2x)4\frac{81 x}{2} - \frac{81 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos 162du162 du:

        ∫162u du\int 162 u\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=162∫u du\int u\, du = 162 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 81u281 u^{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        81sin⁡2(x)81 \sin^{2}{\left(x \right)}

      Método #2

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −162du- 162 du:

        ∫(−162u) du\int \left(- 162 u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−162∫u du\int u\, du = - 162 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −81u2- 81 u^{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −81cos⁡2(x)- 81 \cos^{2}{\left(x \right)}

    El resultado es: 81x2+81sin⁡2(x)−81sin⁡(2x)4\frac{81 x}{2} + 81 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{81 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    81x2+81sin⁡2(x)−81sin⁡(2x)4+constant\frac{81 x}{2} + 81 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{81 \sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

81x2+81sin⁡2(x)−81sin⁡(2x)4+constant\frac{81 x}{2} + 81 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{81 \sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                         
 |                                                                          
 | /                          2   \                2      81*sin(2*x)   81*x
 | \162*sin(x)*cos(x) + 81*sin (x)/ dx = C + 81*sin (x) - ----------- + ----
 |                                                             4         2  
/
∫(81sin⁡2(x)+162sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=C+81x2+81sin⁡2(x)−81sin⁡(2x)4\int \left(81 \sin^{2}{\left(x \right)} + 162 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{81 x}{2} + 81 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{81 \sin{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.00-250250
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
81*pi
-----
  2
81π2\frac{81 \pi}{2} 
=
= 
81*pi
-----
  2
81π2\frac{81 \pi}{2} 
81*pi/2
Respuesta numérica [src] 
127.234502470387
127.234502470387

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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