Integral de (x^(3/2)+x+5)/x+cos(2*x) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + 5 u + 1}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + 5 u + 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + 5 u + 1}{u^{2}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + 5 u + 1}{u^{2}} = \frac{\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{u} + \frac{5}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. que $u = \frac{1}{u}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{5}{u}\, du = 5 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(u \right)}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               El resultado es: $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 5 \log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x + 5 \log{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\left(x^{\frac{3}{2}} + x\right) + 5}{x} = \sqrt{x} + 1 + \frac{5}{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5}{x}\, dx = 5 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x + 5 \log{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x + 5 \log{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x + 5 \log{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x + 5 \log{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$