Integral de cos^23x-sin^23x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(3 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 6 x$.

               Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cos^{2}{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = 6 x$.

            Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

   El resultado es: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$