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Integral de (x^3*cos(x/2)+1/2*sqrt(4-x^2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  2                             
  /                             
 |                              
 |  /               ________\   
 |  |              /      2 |   
 |  | 3    /x\   \/  4 - x  |   
 |  |x *cos|-| + -----------| dx
 |  \      \2/        2     /   
 |                              
/                               
-2                              
$$\int\limits_{-2}^{2} \left(x^{3} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2}\right)\, dx$$
Integral(x^3*cos(x/2) + sqrt(4 - x^2)/2, (x, -2, 2))
Solución detallada
  1. Integramos término a término:

    1. Usamos la integración por partes:

      que y que .

      Entonces .

      Para buscar :

      1. que .

        Luego que y ponemos :

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. La integral del coseno es seno:

          Por lo tanto, el resultado es:

        Si ahora sustituir más en:

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      que y que .

      Entonces .

      Para buscar :

      1. que .

        Luego que y ponemos :

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

          Por lo tanto, el resultado es:

        Si ahora sustituir más en:

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      que y que .

      Entonces .

      Para buscar :

      1. que .

        Luego que y ponemos :

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. La integral del coseno es seno:

          Por lo tanto, el resultado es:

        Si ahora sustituir más en:

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      1. que .

        Luego que y ponemos :

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

          Por lo tanto, el resultado es:

        Si ahora sustituir más en:

      Por lo tanto, el resultado es:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=4*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=4, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=4*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -2) & (x < 2), context=sqrt(4 - x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es:

    El resultado es:

  2. Ahora simplificar:

  3. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                   /                 ________                                                                               
 |                                    |                /      2                                                                                
 | /               ________\          <      /x\   x*\/  4 - x                                                                                 
 | |              /      2 |          |2*asin|-| + -------------  for And(x > -2, x < 2)                                                       
 | | 3    /x\   \/  4 - x  |          \      \2/         2                                       /x\           /x\      3    /x\       2    /x\
 | |x *cos|-| + -----------| dx = C + -------------------------------------------------- - 96*cos|-| - 48*x*sin|-| + 2*x *sin|-| + 12*x *cos|-|
 | \      \2/        2     /                                  2                                  \2/           \2/           \2/            \2/
 |                                                                                                                                             
/                                                                                                                                              
$$\int \left(x^{3} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2}\right)\, dx = C + 2 x^{3} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 48 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\begin{cases} \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}}{2} - 96 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
pi
$$\pi$$
=
=
pi
$$\pi$$
pi
Respuesta numérica [src]
3.14159265358979
3.14159265358979

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.