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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de x^2/(x^2+1)^4
Integral de (x)/(1+x^2)
Integral de (e^√x)/√x
Integral de -e^x
Expresiones idénticas
x(uno -x)*sin(pi*x)
x(1 menos x) multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x)
x(uno menos x) multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x)
x(1-x)sin(pix)
x1-xsinpix
x(1-x)*sin(pi*x)dx
Expresiones semejantes
x(1+x)*sin(pi*x)
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(3x)cos(x)
sin(x)*lnx
sin(x)/(sin(x)+cos(x))
sin√xdx
sin(x)^6
Número Pi pi
pi/((9*x^2+1)*(arctg(3*x)^2))
pi^x/abs(x)
pi*((cos(x))^3)*((sin(x))^2)
pi*a^3*(1+cos(x))^3
pi/(4x+3)^1/5

Resolución de integrales/ (1-x)/ sin(pi*x)/ x(1-x)*sin(pi*x)

Integral de x(1-x)sin(pix) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                       
  /                       
 |                        
 |  x*(1 - x)*sin(pi*x) dx
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} x \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$$

Integral((x*(1 - x))*sin(pi*x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = - x$ .
  
  Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(- u^{2} \sin{\left(\pi u \right)} - u \sin{\left(\pi u \right)}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2} \sin{\left(u \pi \right)}\right)\, du = - \int u^{2} \sin{\left(u \pi \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \pi \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = u \pi$ .
      
      Luego que $du = \pi du$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = - \frac{2 u}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \pi \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{\pi}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = u \pi$ .
      
      Luego que $du = \pi du$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2 \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}\right)\, du = - \frac{2 \int \sin{\left(u \pi \right)}\, du}{\pi^{2}}$
      
      que $u = u \pi$ .
      
      Luego que $du = \pi du$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{3}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{2 u \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{3}}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u \sin{\left(u \pi \right)}\right)\, du = - \int u \sin{\left(u \pi \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \pi \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = u \pi$ .
      
      Luego que $du = \pi du$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \pi \right)}\, du}{\pi}$
      
      que $u = u \pi$ .
      
      Luego que $du = \pi du$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}$
    El resultado es: $\frac{u^{2} \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{2 u \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}} + \frac{u \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{3}}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $x \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)} = - x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + x \sin{\left(\pi x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\pi}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}$
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}$
    1. que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$
  El resultado es: $\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
Método #3
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = x \left(1 - x\right)$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1 - 2 x$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = \pi x$ .
    
    Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \frac{2 x - 1}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\pi}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = \pi x$ .
    
    Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
  Ahora resolvemos podintegral.
3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\, dx = \frac{2 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}$
  1. que $u = \pi x$ .
    
    Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
Método #4
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $x \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)} = - x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + x \sin{\left(\pi x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\pi}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}$
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}$
    1. que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$
  El resultado es: $\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
Ahora simplificar:

$\frac{\pi^{2} x \left(x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} + \pi \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(\pi x \right)} - 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\pi^{2} x \left(x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} + \pi \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(\pi x \right)} - 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi^{2} x \left(x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} + \pi \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(\pi x \right)} - 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                        2                                        
 |                              sin(pi*x)   2*cos(pi*x)   x *cos(pi*x)   x*cos(pi*x)   2*x*sin(pi*x)
 | x*(1 - x)*sin(pi*x) dx = C + --------- - ----------- + ------------ - ----------- - -------------
 |                                   2            3            pi             pi              2     
/                                  pi           pi                                          pi

$$\int x \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

 4 
---
  3
pi

$$\frac{4}{\pi^{3}}$$

 4 
---
  3
pi

$$\frac{4}{\pi^{3}}$$

4/pi^3

Respuesta numérica [src]

0.129006137732798

0.129006137732798

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de x(1-x)sin(pix) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3

Método #4

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de x(1-x)*sin(pi*x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3

Método #4

Integral de x(1-x)sin(pix) dx