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Resolución de integrales/ (1-x)/ sin(pi*x)/ x(1-x)*sin(pi*x)

Integral de x(1-x)*sin(pi*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
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 |  x*(1 - x)*sin(pi*x) dx
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0
∫01x(1−x)sin⁡(πx) dx\int\limits_{0}^{1} x \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)}\, dx 
Integral((x*(1 - x))*sin(pi*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(−u2sin⁡(πu)−usin⁡(πu)) du\int \left(- u^{2} \sin{\left(\pi u \right)} - u \sin{\left(\pi u \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2sin⁡(uπ)) du=−∫u2sin⁡(uπ) du\int \left(- u^{2} \sin{\left(u \pi \right)}\right)\, du = - \int u^{2} \sin{\left(u \pi \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=sin⁡(uπ)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \pi \right)}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=uπu = u \pi.

              Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(uπ)π- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=−2uπu{\left(u \right)} = - \frac{2 u}{\pi} y que dv⁡(u)=cos⁡(uπ)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \pi \right)}.

            Entonces du⁡(u)=−2π\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{\pi}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=uπu = u \pi.

              Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(uπ)π\frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡(uπ)π2) du=−2∫sin⁡(uπ) duπ2\int \left(- \frac{2 \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}\right)\, du = - \frac{2 \int \sin{\left(u \pi \right)}\, du}{\pi^{2}}

            1. que u=uπu = u \pi.

              Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(uπ)π- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(uπ)π3\frac{2 \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{3}}

          Por lo tanto, el resultado es: u2cos⁡(uπ)π−2usin⁡(uπ)π2−2cos⁡(uπ)π3\frac{u^{2} \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{2 u \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{3}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−usin⁡(uπ)) du=−∫usin⁡(uπ) du\int \left(- u \sin{\left(u \pi \right)}\right)\, du = - \int u \sin{\left(u \pi \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(uπ)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \pi \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=uπu = u \pi.

              Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(uπ)π- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(uπ)π) du=−∫cos⁡(uπ) duπ\int \left(- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \pi \right)}\, du}{\pi}

            1. que u=uπu = u \pi.

              Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(uπ)π\frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(uπ)π2- \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: ucos⁡(uπ)π−sin⁡(uπ)π2\frac{u \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}

        El resultado es: u2cos⁡(uπ)π−2usin⁡(uπ)π2+ucos⁡(uπ)π−sin⁡(uπ)π2−2cos⁡(uπ)π3\frac{u^{2} \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{2 u \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}} + \frac{u \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2cos⁡(πx)π−2xsin⁡(πx)π2−xcos⁡(πx)π+sin⁡(πx)π2−2cos⁡(πx)π3\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(1−x)sin⁡(πx)=−x2sin⁡(πx)+xsin⁡(πx)x \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)} = - x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + x \sin{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2sin⁡(πx)) dx=−∫x2sin⁡(πx) dx\int \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xπu{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{\pi} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2π\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(πx)π2) dx=−2∫sin⁡(πx) dxπ2\int \left(- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(πx)π3\frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: x2cos⁡(πx)π−2xsin⁡(πx)π2−2cos⁡(πx)π3\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(πx)π) dx=−∫cos⁡(πx) dxπ\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(πx)π2- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

      El resultado es: x2cos⁡(πx)π−2xsin⁡(πx)π2−xcos⁡(πx)π+sin⁡(πx)π2−2cos⁡(πx)π3\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x(1−x)u{\left(x \right)} = x \left(1 - x\right) y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1−2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1 - 2 x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x−1πu{\left(x \right)} = \frac{2 x - 1}{\pi} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2π\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\pi}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(πx)π2 dx=2∫sin⁡(πx) dxπ2\int \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\, dx = \frac{2 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(πx)π3- \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(1−x)sin⁡(πx)=−x2sin⁡(πx)+xsin⁡(πx)x \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)} = - x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + x \sin{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2sin⁡(πx)) dx=−∫x2sin⁡(πx) dx\int \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xπu{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{\pi} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2π\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(πx)π2) dx=−2∫sin⁡(πx) dxπ2\int \left(- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(πx)π3\frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: x2cos⁡(πx)π−2xsin⁡(πx)π2−2cos⁡(πx)π3\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(πx)π) dx=−∫cos⁡(πx) dxπ\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(πx)π2- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

      El resultado es: x2cos⁡(πx)π−2xsin⁡(πx)π2−xcos⁡(πx)π+sin⁡(πx)π2−2cos⁡(πx)π3\frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

  2. Ahora simplificar:

    π2x(x−1)cos⁡(πx)+π(1−2x)sin⁡(πx)−2cos⁡(πx)π3\frac{\pi^{2} x \left(x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} + \pi \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(\pi x \right)} - 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    π2x(x−1)cos⁡(πx)+π(1−2x)sin⁡(πx)−2cos⁡(πx)π3+constant\frac{\pi^{2} x \left(x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} + \pi \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(\pi x \right)} - 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

π2x(x−1)cos⁡(πx)+π(1−2x)sin⁡(πx)−2cos⁡(πx)π3+constant\frac{\pi^{2} x \left(x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} + \pi \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(\pi x \right)} - 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        2                                        
 |                              sin(pi*x)   2*cos(pi*x)   x *cos(pi*x)   x*cos(pi*x)   2*x*sin(pi*x)
 | x*(1 - x)*sin(pi*x) dx = C + --------- - ----------- + ------------ - ----------- - -------------
 |                                   2            3            pi             pi              2     
/                                  pi           pi                                          pi
∫x(1−x)sin⁡(πx) dx=C+x2cos⁡(πx)π−2xsin⁡(πx)π2−xcos⁡(πx)π+sin⁡(πx)π2−2cos⁡(πx)π3\int x \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
 4 
---
  3
pi
4π3\frac{4}{\pi^{3}} 
=
= 
 4 
---
  3
pi
4π3\frac{4}{\pi^{3}} 
4/pi^3
Respuesta numérica [src] 
0.129006137732798
0.129006137732798

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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