Integral de 12*ctg(3*x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 12 \cot{\left(3 x \right)}\, dx = 12 \int \cot{\left(3 x \right)}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cot{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

         Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

      Método #2

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \sin{\left(u \right)}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du}{3}$

            1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $4 \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$4 \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$