Integral de sqrt^6(3x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{3 x + 5}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 5}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2 u^{7}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{7}\, du = \frac{2 \int u^{7}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x + 5\right)^{4}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt{3 x + 5}\right)^{6} = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 225 x + 125$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 27 x^{3}\, dx = 27 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{27 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 135 x^{2}\, dx = 135 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $45 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 225 x\, dx = 225 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{225 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 125\, dx = 125 x$

      El resultado es: $\frac{27 x^{4}}{4} + 45 x^{3} + \frac{225 x^{2}}{2} + 125 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x + 5\right)^{4}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x + 5\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x + 5\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$