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Resolución de integrales/ x^3+x/ xcosx/ tan(x)/ x^3+xcosx+tan(x)^(5)+1

Integral de x^3+xcosx+tan(x)^(5)+1 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  pi                                 
  --                                 
  2                                  
   /                                 
  |                                  
  |  / 3                 5       \   
  |  \x  + x*cos(x) + tan (x) + 1/ dx
  |                                  
 /                                   
-pi                                  
----                                 
 2
∫−π2π2(((x3+xcos⁡(x))+tan⁡5(x))+1) dx\int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\left(\left(x^{3} + x \cos{\left(x \right)}\right) + \tan^{5}{\left(x \right)}\right) + 1\right)\, dx 
Integral(x^3 + x*cos(x) + tan(x)^5 + 1, (x, -pi/2, pi/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: x44+xsin⁡(x)+cos⁡(x)\frac{x^{4}}{4} + x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        tan⁡5(x)=(sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)\tan^{5}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=sec⁡2(x)u = \sec^{2}{\left(x \right)}.

          Luego que du=2tan⁡(x)sec⁡2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫u2−2u+12u du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2−2u+1u du=∫u2−2u+1u du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u2−2u+1u=u−2+1u\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              El resultado es: u22−2u+log⁡(u)\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: u24−u+log⁡(u)2\frac{u^{2}}{4} - u + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(sec⁡2(x))2+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)=tan⁡(x)sec⁡4(x)−2tan⁡(x)sec⁡2(x)+tan⁡(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

            Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u3 du\int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sec⁡4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2tan⁡(x)sec⁡2(x)) dx=−2∫tan⁡(x)sec⁡2(x) dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

              Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u du\int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sec⁡2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡2(x)- \sec^{2}{\left(x \right)}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

          El resultado es: −log⁡(cos⁡(x))+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)=tan⁡(x)sec⁡4(x)−2tan⁡(x)sec⁡2(x)+tan⁡(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

            Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u3 du\int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sec⁡4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2tan⁡(x)sec⁡2(x)) dx=−2∫tan⁡(x)sec⁡2(x) dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

              Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u du\int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sec⁡2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡2(x)- \sec^{2}{\left(x \right)}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

          El resultado es: −log⁡(cos⁡(x))+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

      El resultado es: x44+xsin⁡(x)+log⁡(sec⁡2(x))2+cos⁡(x)+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)\frac{x^{4}}{4} + x \sin{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    El resultado es: x44+xsin⁡(x)+x+log⁡(sec⁡2(x))2+cos⁡(x)+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)\frac{x^{4}}{4} + x \sin{\left(x \right)} + x + \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x44+xsin⁡(x)+x+log⁡(sec⁡2(x))2+cos⁡(x)+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)+constant\frac{x^{4}}{4} + x \sin{\left(x \right)} + x + \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x44+xsin⁡(x)+x+log⁡(sec⁡2(x))2+cos⁡(x)+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)+constant\frac{x^{4}}{4} + x \sin{\left(x \right)} + x + \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                    
 |                                               /   2   \              4      4                       
 | / 3                 5       \              log\sec (x)/      2      x    sec (x)                    
 | \x  + x*cos(x) + tan (x) + 1/ dx = C + x + ------------ - sec (x) + -- + ------- + x*sin(x) + cos(x)
 |                                                 2                   4       4                       
/
∫(((x3+xcos⁡(x))+tan⁡5(x))+1) dx=C+x44+xsin⁡(x)+x+log⁡(sec⁡2(x))2+cos⁡(x)+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)\int \left(\left(\left(x^{3} + x \cos{\left(x \right)}\right) + \tan^{5}{\left(x \right)}\right) + 1\right)\, dx = C + \frac{x^{4}}{4} + x \sin{\left(x \right)} + x + \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
-1.50-1.25-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.001.251.502e81-1e81
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan
Respuesta numérica [src] 
3.14154131210608
3.14154131210608

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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