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Resolución de integrales/ 4-2/(cos(x))^2+1/4*(cos(x))^4

Integral de 4-2/(cos(x))^2+1/4*(cos(x))^4 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                           
 --                           
 4                            
  /                           
 |                            
 |  /                 4   \   
 |  |       2      cos (x)|   
 |  |4 - ------- + -------| dx
 |  |       2         4   |   
 |  \    cos (x)          /   
 |                            
/                             
0
∫0π4((4−2cos⁡2(x))+cos⁡4(x)4) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\left(4 - \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) + \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx 
Integral(4 - 2/cos(x)^2 + cos(x)^4/4, (x, 0, pi/4))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡2(x)) dx=−2∫1cos⁡2(x) dx\int \left(- \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)cos⁡(x)- \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      El resultado es: 4x−2sin⁡(x)cos⁡(x)4 x - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫cos⁡4(x)4 dx=∫cos⁡4(x) dx4\int \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx}{4}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡4(x)=(cos⁡(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x32+sin⁡(2x)16+sin⁡(4x)128\frac{3 x}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128}

    El resultado es: 131x32−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x)16+sin⁡(4x)128\frac{131 x}{32} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128}

  2. Ahora simplificar:

    131x32+sin⁡(2x)16+sin⁡(4x)128−2tan⁡(x)\frac{131 x}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - 2 \tan{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    131x32+sin⁡(2x)16+sin⁡(4x)128−2tan⁡(x)+constant\frac{131 x}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - 2 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

131x32+sin⁡(2x)16+sin⁡(4x)128−2tan⁡(x)+constant\frac{131 x}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - 2 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                       
 |                                                                        
 | /                 4   \                                                
 | |       2      cos (x)|          sin(2*x)   sin(4*x)   131*x   2*sin(x)
 | |4 - ------- + -------| dx = C + -------- + -------- + ----- - --------
 | |       2         4   |             16        128        32     cos(x) 
 | \    cos (x)          /                                                
 |                                                                        
/
∫((4−2cos⁡2(x))+cos⁡4(x)4) dx=C+131x32−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(2x)16+sin⁡(4x)128\int \left(\left(4 - \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) + \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx = C + \frac{131 x}{32} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.02.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  31   131*pi
- -- + ------
  16    128
−3116+131π128- \frac{31}{16} + \frac{131 \pi}{128} 
=
= 
  31   131*pi
- -- + ------
  16    128
−3116+131π128- \frac{31}{16} + \frac{131 \pi}{128} 
-31/16 + 131*pi/128
Respuesta numérica [src] 
1.2777237314083
1.2777237314083

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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