Integral de ctg(2*x)+tg(x/2) dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

         Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

      Método #2

      1. que $u = \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = 2 \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du$

            1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cot{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}$

   2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

   El resultado es: $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} - 2 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} - 2 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} - 2 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} - 2 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$