Integral de 3/2*sin(2*x)*exp(t-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{t - x} \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} = \frac{3 e^{t} e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 e^{t} e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{3 e^{t} \int e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(2 u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - \int 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du$.

            2. Para el integrando $2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = 2 \cos{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)} + \int \left(- 4 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\right)\, du$.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

               $5 \int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$

               Por lo tanto,

               $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{5} - \frac{2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{2 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \left(- \frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{2 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{t}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{t - x} \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} = \frac{3 e^{t} e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 e^{t} e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{3 e^{t} \int e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(2 u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - \int 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du$.

            2. Para el integrando $2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = 2 \cos{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)} + \int \left(- 4 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\right)\, du$.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

               $5 \int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$

               Por lo tanto,

               $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{5} - \frac{2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{2 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \left(- \frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{2 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{t}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{3 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{t - x}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{t - x}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{t - x}}{10}+ \mathrm{constant}$