Integral de tan((pi)(x)/2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{\pi}$:

      $\int \left(- \frac{2}{\pi u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u}\, du}{\pi}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(u \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \log{\left(\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{\pi x}{2}$.

      Luego que $du = \frac{\pi dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{\pi}$:

      $\int \frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\pi \cos{\left(u \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{2 \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{\pi}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \log{\left(\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 \log{\left(\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \log{\left(\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \log{\left(\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$