Sr Examen

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Integral de pi((sqtrx+sqrt2)-(2x+1))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                                  
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 |  pi*\\/ x  + \/ 2  + -2*x - 1/  dx
 |                                   
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0                                    
01π((x+2)+(2x1))2dx\int\limits_{0}^{1} \pi \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right) + \left(- 2 x - 1\right)\right)^{2}\, dx
Integral(pi*(sqrt(x) + sqrt(2) - 2*x - 1)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    π((x+2)+(2x1))2dx=π((x+2)+(2x1))2dx\int \pi \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right) + \left(- 2 x - 1\right)\right)^{2}\, dx = \pi \int \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right) + \left(- 2 x - 1\right)\right)^{2}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=xu = \sqrt{x}.

        Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos dudu:

        (8u58u482u3+10u34u2+42u242u+6u)du\int \left(8 u^{5} - 8 u^{4} - 8 \sqrt{2} u^{3} + 10 u^{3} - 4 u^{2} + 4 \sqrt{2} u^{2} - 4 \sqrt{2} u + 6 u\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            8u5du=8u5du\int 8 u^{5}\, du = 8 \int u^{5}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u5du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

            Por lo tanto, el resultado es: 4u63\frac{4 u^{6}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (8u4)du=8u4du\int \left(- 8 u^{4}\right)\, du = - 8 \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: 8u55- \frac{8 u^{5}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (82u3)du=82u3du\int \left(- 8 \sqrt{2} u^{3}\right)\, du = - 8 \sqrt{2} \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: 22u4- 2 \sqrt{2} u^{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            10u3du=10u3du\int 10 u^{3}\, du = 10 \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: 5u42\frac{5 u^{4}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (4u2)du=4u2du\int \left(- 4 u^{2}\right)\, du = - 4 \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 4u33- \frac{4 u^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            42u2du=42u2du\int 4 \sqrt{2} u^{2}\, du = 4 \sqrt{2} \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 42u33\frac{4 \sqrt{2} u^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (42u)du=42udu\int \left(- 4 \sqrt{2} u\right)\, du = - 4 \sqrt{2} \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 22u2- 2 \sqrt{2} u^{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            6udu=6udu\int 6 u\, du = 6 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 3u23 u^{2}

          El resultado es: 4u638u5522u4+5u424u33+42u3322u2+3u2\frac{4 u^{6}}{3} - \frac{8 u^{5}}{5} - 2 \sqrt{2} u^{4} + \frac{5 u^{4}}{2} - \frac{4 u^{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} u^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} u^{2} + 3 u^{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        8x5254x323+42x323+4x3322x2+5x2222x+3x- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 x^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{5 x^{2}}{2} - 2 \sqrt{2} x + 3 x

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        ((x+2)+(2x1))2=4x322x+22x+4x242x+5x22+3\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right) + \left(- 2 x - 1\right)\right)^{2} = - 4 x^{\frac{3}{2}} - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{2} \sqrt{x} + 4 x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 5 x - 2 \sqrt{2} + 3

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (4x32)dx=4x32dx\int \left(- 4 x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - 4 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            x32dx=2x525\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 8x525- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2x)dx=2xdx\int \left(- 2 \sqrt{x}\right)\, dx = - 2 \int \sqrt{x}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            xdx=2x323\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 4x323- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          22xdx=22xdx\int 2 \sqrt{2} \sqrt{x}\, dx = 2 \sqrt{2} \int \sqrt{x}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            xdx=2x323\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 42x323\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          4x2dx=4x2dx\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 4x33\frac{4 x^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (42x)dx=42xdx\int \left(- 4 \sqrt{2} x\right)\, dx = - 4 \sqrt{2} \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 22x2- 2 \sqrt{2} x^{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          5xdx=5xdx\int 5 x\, dx = 5 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 5x22\frac{5 x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          (22)dx=22x\int \left(- 2 \sqrt{2}\right)\, dx = - 2 \sqrt{2} x

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          3dx=3x\int 3\, dx = 3 x

        El resultado es: 8x5254x323+42x323+4x3322x2+5x2222x+3x- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 x^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{5 x^{2}}{2} - 2 \sqrt{2} x + 3 x

    Por lo tanto, el resultado es: π(8x5254x323+42x323+4x3322x2+5x2222x+3x)\pi \left(- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 x^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{5 x^{2}}{2} - 2 \sqrt{2} x + 3 x\right)

  2. Ahora simplificar:

    π(48x5240x32+402x32+40x3602x2+75x2602x+90x)30\frac{\pi \left(- 48 x^{\frac{5}{2}} - 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{3} - 60 \sqrt{2} x^{2} + 75 x^{2} - 60 \sqrt{2} x + 90 x\right)}{30}

  3. Añadimos la constante de integración:

    π(48x5240x32+402x32+40x3602x2+75x2602x+90x)30+constant\frac{\pi \left(- 48 x^{\frac{5}{2}} - 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{3} - 60 \sqrt{2} x^{2} + 75 x^{2} - 60 \sqrt{2} x + 90 x\right)}{30}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

π(48x5240x32+402x32+40x3602x2+75x2602x+90x)30+constant\frac{\pi \left(- 48 x^{\frac{5}{2}} - 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{3} - 60 \sqrt{2} x^{2} + 75 x^{2} - 60 \sqrt{2} x + 90 x\right)}{30}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                                                        
 |                                                                                                                         
 |                              2             /         5/2      3/2      3      2                                ___  3/2\
 |    /  ___     ___           \              |      8*x      4*x      4*x    5*x          ___       ___  2   4*\/ 2 *x   |
 | pi*\\/ x  + \/ 2  + -2*x - 1/  dx = C + pi*|3*x - ------ - ------ + ---- + ---- - 2*x*\/ 2  - 2*\/ 2 *x  + ------------|
 |                                            \        5        3       3      2                                   3      /
/                                                                                                                          
π((x+2)+(2x1))2dx=C+π(8x5254x323+42x323+4x3322x2+5x2222x+3x)\int \pi \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right) + \left(- 2 x - 1\right)\right)^{2}\, dx = C + \pi \left(- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 x^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{5 x^{2}}{2} - 2 \sqrt{2} x + 3 x\right)
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Respuesta [src]
   /         ___\
   |39   8*\/ 2 |
pi*|-- - -------|
   \10      3   /
π(3910823)\pi \left(\frac{39}{10} - \frac{8 \sqrt{2}}{3}\right)
=
=
   /         ___\
   |39   8*\/ 2 |
pi*|-- - -------|
   \10      3   /
π(3910823)\pi \left(\frac{39}{10} - \frac{8 \sqrt{2}}{3}\right)
pi*(39/10 - 8*sqrt(2)/3)
Respuesta numérica [src]
0.404523513911217
0.404523513911217

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.