Integral de x*exp(y)+arcsin(y/8) dy

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int x e^{y}\, dy = x \int e^{y}\, dy$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{y}\, dy = e^{y}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x e^{y}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{y}{8}$.

         Luego que $du = \frac{dy}{8}$ y ponemos $8 du$:

         $\int 8 \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du = 8 \int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. que $u = 1 - u^{2}$.

               Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{1 - u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 u \operatorname{asin}{\left(u \right)} + 8 \sqrt{1 - u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $y \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{8} \right)} + 8 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{64}}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(y \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{8} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = \frac{1}{8 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{64}}}$.

         Para buscar $v{\left(y \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dy = y$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{y}{8 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{64}}}\, dy = \frac{\int \frac{y}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{64}}}\, dy}{8}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 1 - \frac{y^{2}}{64}$.

               Luego que $du = - \frac{y dy}{32}$ y ponemos $- 32 du$:

               $\int \left(- \frac{32}{\sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - 32 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 64 \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 64 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{64}}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{y}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{64}}} = \frac{8 y}{\sqrt{64 - y^{2}}}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{8 y}{\sqrt{64 - y^{2}}}\, dy = 8 \int \frac{y}{\sqrt{64 - y^{2}}}\, dy$

               1. que $u = 64 - y^{2}$.

                  Luego que $du = - 2 y dy$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \sqrt{64 - y^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sqrt{64 - y^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{64}}$

   El resultado es: $x e^{y} + y \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{8} \right)} + 8 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{64}}$

2. Ahora simplificar:

   $x e^{y} + y \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{8} \right)} + \sqrt{64 - y^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x e^{y} + y \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{8} \right)} + \sqrt{64 - y^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x e^{y} + y \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{8} \right)} + \sqrt{64 - y^{2}}+ \mathrm{constant}$