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Resolución de integrales/ (2-x)/ cos(x/2)/ (2-x)*cos(x/2)

Integral de (2-x)*cos(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
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 |                   
 |             /x\   
 |  (2 - x)*cos|-| dx
 |             \2/   
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0
∫01(2−x)cos⁡(x2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 - x\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral((2 - x)*cos(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(−ucos⁡(u2)−2cos⁡(u2)) du\int \left(- u \cos{\left(\frac{u}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−ucos⁡(u2)) du=−∫ucos⁡(u2) du\int \left(- u \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}\right)\, du = - \int u \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u2)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

              Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

              ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              2sin⁡(u2)2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(u2) du=2∫sin⁡(u2) du\int 2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du

            1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

              Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

              ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −2cos⁡(u2)- 2 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u2)- 4 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2usin⁡(u2)−4cos⁡(u2)- 2 u \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(u2)) du=−2∫cos⁡(u2) du\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du

          1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

            Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(u2)2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(u2)- 4 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}

        El resultado es: −2usin⁡(u2)−4sin⁡(u2)−4cos⁡(u2)- 2 u \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −2xsin⁡(x2)+4sin⁡(x2)−4cos⁡(x2)- 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2−x)cos⁡(x2)=−xcos⁡(x2)+2cos⁡(x2)\left(2 - x\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xcos⁡(x2)) dx=−∫xcos⁡(x2) dx\int \left(- x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xsin⁡(x2)−4cos⁡(x2)- 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡(x2) dx=2∫cos⁡(x2) dx\int 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(x2)4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: −2xsin⁡(x2)+4sin⁡(x2)−4cos⁡(x2)- 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2−xu{\left(x \right)} = 2 - x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2sin⁡(x2)) dx=−2∫sin⁡(x2) dx\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡(x2)4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2−x)cos⁡(x2)=−xcos⁡(x2)+2cos⁡(x2)\left(2 - x\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xcos⁡(x2)) dx=−∫xcos⁡(x2) dx\int \left(- x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xsin⁡(x2)−4cos⁡(x2)- 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡(x2) dx=2∫cos⁡(x2) dx\int 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(x2)4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: −2xsin⁡(x2)+4sin⁡(x2)−4cos⁡(x2)- 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −2xsin⁡(x2)−42cos⁡(x2+π4)- 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2xsin⁡(x2)−42cos⁡(x2+π4)+constant- 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2xsin⁡(x2)−42cos⁡(x2+π4)+constant- 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |            /x\               /x\        /x\          /x\
 | (2 - x)*cos|-| dx = C - 4*cos|-| + 4*sin|-| - 2*x*sin|-|
 |            \2/               \2/        \2/          \2/
 |                                                         
/
∫(2−x)cos⁡(x2) dx=C−2xsin⁡(x2)+4sin⁡(x2)−4cos⁡(x2)\int \left(2 - x\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C - 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
4 - 4*cos(1/2) + 2*sin(1/2)
−4cos⁡(12)+2sin⁡(12)+4- 4 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4 
=
= 
4 - 4*cos(1/2) + 2*sin(1/2)
−4cos⁡(12)+2sin⁡(12)+4- 4 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4 
4 - 4*cos(1/2) + 2*sin(1/2)
Respuesta numérica [src] 
1.44852082964692
1.44852082964692

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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