Integral de e^x/sqrt(e^x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u - 1}}\, du$

      1. que $u = u - 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{u - 1}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{e^{x} - 1}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{e^{x} - 1}$.

      Luego que $du = \frac{e^{x} dx}{2 \sqrt{e^{x} - 1}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{e^{x} - 1}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{e^{x} - 1}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{e^{x} - 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{e^{x} - 1}+ \mathrm{constant}$