Integral de cbrt(x)/x*(x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{3} + 3\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{3}\, du = 3 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 3\, du = 3 u$

         El resultado es: $\frac{3 u^{4}}{4} + 3 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u}\, du = - \int \frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u} = \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + \frac{\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = - \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = 3 \sqrt[3]{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \sqrt[3]{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}}$

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \sqrt[3]{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sqrt[3]{u}\, du = - \int \sqrt[3]{u}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{3 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

            El resultado es: $- \frac{3 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{4} - 3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(x + 4\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(x + 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(x + 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}$