Integral de cosx/(1-sinx+1/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{4}$.

      Luego que $du = - \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \log{\left(\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{4} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{4}} = - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{4 \sin{\left(x \right)} - 5}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{4 \sin{\left(x \right)} - 5}\right)\, dx = - 4 \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{4 \sin{\left(x \right)} - 5}\, dx$

      1. que $u = 4 \sin{\left(x \right)} - 5$.

         Luego que $du = 4 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(4 \sin{\left(x \right)} - 5 \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(4 \sin{\left(x \right)} - 5 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \log{\left(\frac{5}{4} - \sin{\left(x \right)} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(\frac{5}{4} - \sin{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(\frac{5}{4} - \sin{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$