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Resolución de integrales/ (x/3)/ (3-2x)/ (3-2x)cos(x/3)dx

Integral de (3-2x)cos(x/3)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  (3 - 2*x)*cos|-| dx
 |               \3/   
 |                     
/                      
0
∫01(3−2x)cos⁡(x3) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 - 2 x\right) \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx 
Integral((3 - 2*x)*cos(x/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3−2x)cos⁡(x3)=−2xcos⁡(x3)+3cos⁡(x3)\left(3 - 2 x\right) \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = - 2 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xcos⁡(x3)) dx=−2∫xcos⁡(x3) dx\int \left(- 2 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3sin⁡(x3) dx=3∫sin⁡(x3) dx\int 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −9cos⁡(x3)- 9 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −6xsin⁡(x3)−18cos⁡(x3)- 6 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 18 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡(x3) dx=3∫cos⁡(x3) dx\int 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

          Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

          ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 9sin⁡(x3)9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      El resultado es: −6xsin⁡(x3)+9sin⁡(x3)−18cos⁡(x3)- 6 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 18 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3−2xu{\left(x \right)} = 3 - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

        Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

        ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−6sin⁡(x3)) dx=−6∫sin⁡(x3) dx\int \left(- 6 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

      1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

        Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

        ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 18cos⁡(x3)18 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3−2x)cos⁡(x3)=−2xcos⁡(x3)+3cos⁡(x3)\left(3 - 2 x\right) \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = - 2 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xcos⁡(x3)) dx=−2∫xcos⁡(x3) dx\int \left(- 2 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3sin⁡(x3) dx=3∫sin⁡(x3) dx\int 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −9cos⁡(x3)- 9 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −6xsin⁡(x3)−18cos⁡(x3)- 6 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 18 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡(x3) dx=3∫cos⁡(x3) dx\int 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

          Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

          ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 9sin⁡(x3)9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      El resultado es: −6xsin⁡(x3)+9sin⁡(x3)−18cos⁡(x3)- 6 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 18 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −6xsin⁡(x3)+9sin⁡(x3)−18cos⁡(x3)+constant- 6 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 18 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−6xsin⁡(x3)+9sin⁡(x3)−18cos⁡(x3)+constant- 6 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 18 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                                            
 |              /x\                /x\        /x\          /x\
 | (3 - 2*x)*cos|-| dx = C - 18*cos|-| + 9*sin|-| - 6*x*sin|-|
 |              \3/                \3/        \3/          \3/
 |                                                            
/
∫(3−2x)cos⁡(x3) dx=C−6xsin⁡(x3)+9sin⁡(x3)−18cos⁡(x3)\int \left(3 - 2 x\right) \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = C - 6 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 18 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2525
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
18 - 18*cos(1/3) + 3*sin(1/3)
−18cos⁡(13)+3sin⁡(13)+18- 18 \cos{\left(\frac{1}{3} \right)} + 3 \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} + 18 
=
= 
18 - 18*cos(1/3) + 3*sin(1/3)
−18cos⁡(13)+3sin⁡(13)+18- 18 \cos{\left(\frac{1}{3} \right)} + 3 \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} + 18 
18 - 18*cos(1/3) + 3*sin(1/3)
Respuesta numérica [src] 
1.97235905672318
1.97235905672318

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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