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Resolución de integrales/ (x+2y)/ x+y^2/ (sin(x+2y)/3(x+y^2))dy

Integral de (sin(x+2y)/3(x+y^2))dy dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  0                         
  /                         
 |                          
 |  sin(x + 2*y) /     2\   
 |  ------------*\x + y / dy
 |       3                  
 |                          
/                           
-1
∫−10sin⁡(x+2y)3(x+y2) dy\int\limits_{-1}^{0} \frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{3} \left(x + y^{2}\right)\, dy 
Integral((sin(x + 2*y)/3)*(x + y^2), (y, -1, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x+2y)3(x+y2)=xsin⁡(x+2y)3+y2sin⁡(x+2y)3\frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{3} \left(x + y^{2}\right) = \frac{x \sin{\left(x + 2 y \right)}}{3} + \frac{y^{2} \sin{\left(x + 2 y \right)}}{3}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xsin⁡(x+2y)3 dy=x∫sin⁡(x+2y) dy3\int \frac{x \sin{\left(x + 2 y \right)}}{3}\, dy = \frac{x \int \sin{\left(x + 2 y \right)}\, dy}{3}

        1. que u=x+2yu = x + 2 y.

          Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(x+2y)2- \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(x+2y)6- \frac{x \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫y2sin⁡(x+2y)3 dy=∫y2sin⁡(x+2y) dy3\int \frac{y^{2} \sin{\left(x + 2 y \right)}}{3}\, dy = \frac{\int y^{2} \sin{\left(x + 2 y \right)}\, dy}{3}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(y)=y2u{\left(y \right)} = y^{2} y que dv⁡(y)=sin⁡(x+2y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(x + 2 y \right)}.

          Entonces du⁡(y)=2y\operatorname{du}{\left(y \right)} = 2 y.

          Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

          1. que u=x+2yu = x + 2 y.

            Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(x+2y)2- \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(y)=−yu{\left(y \right)} = - y y que dv⁡(y)=cos⁡(x+2y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \cos{\left(x + 2 y \right)}.

          Entonces du⁡(y)=−1\operatorname{du}{\left(y \right)} = -1.

          Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

          1. que u=x+2yu = x + 2 y.

            Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(x+2y)2\frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x+2y)2) dy=−∫sin⁡(x+2y) dy2\int \left(- \frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{2}\right)\, dy = - \frac{\int \sin{\left(x + 2 y \right)}\, dy}{2}

          1. que u=x+2yu = x + 2 y.

            Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(x+2y)2- \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x+2y)4\frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −y2cos⁡(x+2y)6+ysin⁡(x+2y)6+cos⁡(x+2y)12- \frac{y^{2} \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{y \sin{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{12}

      El resultado es: −xcos⁡(x+2y)6−y2cos⁡(x+2y)6+ysin⁡(x+2y)6+cos⁡(x+2y)12- \frac{x \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} - \frac{y^{2} \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{y \sin{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{12}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x+2y)3(x+y2)=xsin⁡(x+2y)3+y2sin⁡(x+2y)3\frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{3} \left(x + y^{2}\right) = \frac{x \sin{\left(x + 2 y \right)}}{3} + \frac{y^{2} \sin{\left(x + 2 y \right)}}{3}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xsin⁡(x+2y)3 dy=x∫sin⁡(x+2y) dy3\int \frac{x \sin{\left(x + 2 y \right)}}{3}\, dy = \frac{x \int \sin{\left(x + 2 y \right)}\, dy}{3}

        1. que u=x+2yu = x + 2 y.

          Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(x+2y)2- \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(x+2y)6- \frac{x \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫y2sin⁡(x+2y)3 dy=∫y2sin⁡(x+2y) dy3\int \frac{y^{2} \sin{\left(x + 2 y \right)}}{3}\, dy = \frac{\int y^{2} \sin{\left(x + 2 y \right)}\, dy}{3}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(y)=y2u{\left(y \right)} = y^{2} y que dv⁡(y)=sin⁡(x+2y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(x + 2 y \right)}.

          Entonces du⁡(y)=2y\operatorname{du}{\left(y \right)} = 2 y.

          Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

          1. que u=x+2yu = x + 2 y.

            Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(x+2y)2- \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(y)=−yu{\left(y \right)} = - y y que dv⁡(y)=cos⁡(x+2y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \cos{\left(x + 2 y \right)}.

          Entonces du⁡(y)=−1\operatorname{du}{\left(y \right)} = -1.

          Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

          1. que u=x+2yu = x + 2 y.

            Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(x+2y)2\frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x+2y)2) dy=−∫sin⁡(x+2y) dy2\int \left(- \frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{2}\right)\, dy = - \frac{\int \sin{\left(x + 2 y \right)}\, dy}{2}

          1. que u=x+2yu = x + 2 y.

            Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(x+2y)2- \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x+2y)4\frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −y2cos⁡(x+2y)6+ysin⁡(x+2y)6+cos⁡(x+2y)12- \frac{y^{2} \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{y \sin{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{12}

      El resultado es: −xcos⁡(x+2y)6−y2cos⁡(x+2y)6+ysin⁡(x+2y)6+cos⁡(x+2y)12- \frac{x \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} - \frac{y^{2} \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{y \sin{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{12}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(x+2y)6−y2cos⁡(x+2y)6+ysin⁡(x+2y)6+cos⁡(x+2y)12+constant- \frac{x \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} - \frac{y^{2} \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{y \sin{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(x+2y)6−y2cos⁡(x+2y)6+ysin⁡(x+2y)6+cos⁡(x+2y)12+constant- \frac{x \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} - \frac{y^{2} \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{y \sin{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                               
 |                                                                 2                              
 | sin(x + 2*y) /     2\          cos(x + 2*y)   x*cos(x + 2*y)   y *cos(x + 2*y)   y*sin(x + 2*y)
 | ------------*\x + y / dy = C + ------------ - -------------- - --------------- + --------------
 |      3                              12              6                 6                6       
 |                                                                                                
/
∫sin⁡(x+2y)3(x+y2) dy=C−xcos⁡(x+2y)6−y2cos⁡(x+2y)6+ysin⁡(x+2y)6+cos⁡(x+2y)12\int \frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{3} \left(x + y^{2}\right)\, dy = C - \frac{x \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} - \frac{y^{2} \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{y \sin{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{12}
Simplificar
Respuesta [src] 
sin(-2 + x)   cos(x)   cos(-2 + x)   x*cos(x)   x*cos(-2 + x)
----------- + ------ + ----------- - -------- + -------------
     6          12          12          6             6
−xcos⁡(x)6+xcos⁡(x−2)6+sin⁡(x−2)6+cos⁡(x)12+cos⁡(x−2)12- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(x - 2 \right)}}{12} 
=
= 
sin(-2 + x)   cos(x)   cos(-2 + x)   x*cos(x)   x*cos(-2 + x)
----------- + ------ + ----------- - -------- + -------------
     6          12          12          6             6
−xcos⁡(x)6+xcos⁡(x−2)6+sin⁡(x−2)6+cos⁡(x)12+cos⁡(x−2)12- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(x - 2 \right)}}{12} 
sin(-2 + x)/6 + cos(x)/12 + cos(-2 + x)/12 - x*cos(x)/6 + x*cos(-2 + x)/6

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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