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Integral de (sin(x+2y)/3(x+y^2))dy dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  0                         
  /                         
 |                          
 |  sin(x + 2*y) /     2\   
 |  ------------*\x + y / dy
 |       3                  
 |                          
/                           
-1                          
$$\int\limits_{-1}^{0} \frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{3} \left(x + y^{2}\right)\, dy$$
Integral((sin(x + 2*y)/3)*(x + y^2), (y, -1, 0))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. que .

          Luego que y ponemos :

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

            Por lo tanto, el resultado es:

          Si ahora sustituir más en:

        Por lo tanto, el resultado es:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. Usamos la integración por partes:

          que y que .

          Entonces .

          Para buscar :

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. La integral del seno es un coseno menos:

              Por lo tanto, el resultado es:

            Si ahora sustituir más en:

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          que y que .

          Entonces .

          Para buscar :

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. La integral del coseno es seno:

              Por lo tanto, el resultado es:

            Si ahora sustituir más en:

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. La integral del seno es un coseno menos:

              Por lo tanto, el resultado es:

            Si ahora sustituir más en:

          Por lo tanto, el resultado es:

        Por lo tanto, el resultado es:

      El resultado es:

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. que .

          Luego que y ponemos :

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

            Por lo tanto, el resultado es:

          Si ahora sustituir más en:

        Por lo tanto, el resultado es:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. Usamos la integración por partes:

          que y que .

          Entonces .

          Para buscar :

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. La integral del seno es un coseno menos:

              Por lo tanto, el resultado es:

            Si ahora sustituir más en:

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          que y que .

          Entonces .

          Para buscar :

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. La integral del coseno es seno:

              Por lo tanto, el resultado es:

            Si ahora sustituir más en:

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. La integral del seno es un coseno menos:

              Por lo tanto, el resultado es:

            Si ahora sustituir más en:

          Por lo tanto, el resultado es:

        Por lo tanto, el resultado es:

      El resultado es:

  2. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                               
 |                                                                 2                              
 | sin(x + 2*y) /     2\          cos(x + 2*y)   x*cos(x + 2*y)   y *cos(x + 2*y)   y*sin(x + 2*y)
 | ------------*\x + y / dy = C + ------------ - -------------- - --------------- + --------------
 |      3                              12              6                 6                6       
 |                                                                                                
/                                                                                                 
$$\int \frac{\sin{\left(x + 2 y \right)}}{3} \left(x + y^{2}\right)\, dy = C - \frac{x \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} - \frac{y^{2} \cos{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{y \sin{\left(x + 2 y \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x + 2 y \right)}}{12}$$
Respuesta [src]
sin(-2 + x)   cos(x)   cos(-2 + x)   x*cos(x)   x*cos(-2 + x)
----------- + ------ + ----------- - -------- + -------------
     6          12          12          6             6      
$$- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(x - 2 \right)}}{12}$$
=
=
sin(-2 + x)   cos(x)   cos(-2 + x)   x*cos(x)   x*cos(-2 + x)
----------- + ------ + ----------- - -------- + -------------
     6          12          12          6             6      
$$- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(x - 2 \right)}}{12}$$
sin(-2 + x)/6 + cos(x)/12 + cos(-2 + x)/12 - x*cos(x)/6 + x*cos(-2 + x)/6

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.