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Resolución de integrales/ ctg^8x/(sin^10x)

Integral de ctg^8x/(sin^10x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |     8       
 |  cot (x)    
 |  -------- dx
 |     10      
 |  sin  (x)   
 |             
/              
0
∫01cot⁡8(x)sin⁡10(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cot^{8}{\left(x \right)}}{\sin^{10}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(cot(x)^8/sin(x)^10, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cot⁡8(x)csc⁡10(x)=(cot⁡2(x)+1)4cot⁡8(x)csc⁡2(x)\cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{10}{\left(x \right)} = \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{4} \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

      Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos dudu:

      ∫(−u16−4u14−6u12−4u10−u8) du\int \left(- u^{16} - 4 u^{14} - 6 u^{12} - 4 u^{10} - u^{8}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u16) du=−∫u16 du\int \left(- u^{16}\right)\, du = - \int u^{16}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u16 du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

          Por lo tanto, el resultado es: −u1717- \frac{u^{17}}{17}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4u14) du=−4∫u14 du\int \left(- 4 u^{14}\right)\, du = - 4 \int u^{14}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u14 du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

          Por lo tanto, el resultado es: −4u1515- \frac{4 u^{15}}{15}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−6u12) du=−6∫u12 du\int \left(- 6 u^{12}\right)\, du = - 6 \int u^{12}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u12 du=u1313\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}

          Por lo tanto, el resultado es: −6u1313- \frac{6 u^{13}}{13}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4u10) du=−4∫u10 du\int \left(- 4 u^{10}\right)\, du = - 4 \int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Por lo tanto, el resultado es: −4u1111- \frac{4 u^{11}}{11}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u8) du=−∫u8 du\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −u99- \frac{u^{9}}{9}

        El resultado es: −u1717−4u1515−6u1313−4u1111−u99- \frac{u^{17}}{17} - \frac{4 u^{15}}{15} - \frac{6 u^{13}}{13} - \frac{4 u^{11}}{11} - \frac{u^{9}}{9}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cot⁡17(x)17−4cot⁡15(x)15−6cot⁡13(x)13−4cot⁡11(x)11−cot⁡9(x)9- \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17} - \frac{4 \cot^{15}{\left(x \right)}}{15} - \frac{6 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{4 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cot⁡2(x)+1)4cot⁡8(x)csc⁡2(x)=cot⁡16(x)csc⁡2(x)+4cot⁡14(x)csc⁡2(x)+6cot⁡12(x)csc⁡2(x)+4cot⁡10(x)csc⁡2(x)+cot⁡8(x)csc⁡2(x)\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{4} \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 4 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 6 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 4 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

        Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u16) du\int \left(- u^{16}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u16 du=−∫u16 du\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u16 du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

          Por lo tanto, el resultado es: −u1717- \frac{u^{17}}{17}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cot⁡17(x)17- \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cot⁡14(x)csc⁡2(x) dx=4∫cot⁡14(x)csc⁡2(x) dx\int 4 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u14) du\int \left(- u^{14}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u14 du=−∫u14 du\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u14 du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1515- \frac{u^{15}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡15(x)15- \frac{\cot^{15}{\left(x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cot⁡15(x)15- \frac{4 \cot^{15}{\left(x \right)}}{15}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cot⁡12(x)csc⁡2(x) dx=6∫cot⁡12(x)csc⁡2(x) dx\int 6 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u12) du\int \left(- u^{12}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u12 du=−∫u12 du\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u12 du=u1313\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1313- \frac{u^{13}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡13(x)13- \frac{\cot^{13}{\left(x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: −6cot⁡13(x)13- \frac{6 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cot⁡10(x)csc⁡2(x) dx=4∫cot⁡10(x)csc⁡2(x) dx\int 4 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u10) du\int \left(- u^{10}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u10 du=−∫u10 du\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1111- \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡11(x)11- \frac{\cot^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cot⁡11(x)11- \frac{4 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11}

      1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

        Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u8) du\int \left(- u^{8}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u8 du=−∫u8 du\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −u99- \frac{u^{9}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cot⁡9(x)9- \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}

      El resultado es: −cot⁡17(x)17−4cot⁡15(x)15−6cot⁡13(x)13−4cot⁡11(x)11−cot⁡9(x)9- \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17} - \frac{4 \cot^{15}{\left(x \right)}}{15} - \frac{6 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{4 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cot⁡2(x)+1)4cot⁡8(x)csc⁡2(x)=cot⁡16(x)csc⁡2(x)+4cot⁡14(x)csc⁡2(x)+6cot⁡12(x)csc⁡2(x)+4cot⁡10(x)csc⁡2(x)+cot⁡8(x)csc⁡2(x)\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{4} \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 4 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 6 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 4 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

        Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u16) du\int \left(- u^{16}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u16 du=−∫u16 du\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u16 du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

          Por lo tanto, el resultado es: −u1717- \frac{u^{17}}{17}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cot⁡17(x)17- \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cot⁡14(x)csc⁡2(x) dx=4∫cot⁡14(x)csc⁡2(x) dx\int 4 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u14) du\int \left(- u^{14}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u14 du=−∫u14 du\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u14 du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1515- \frac{u^{15}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡15(x)15- \frac{\cot^{15}{\left(x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cot⁡15(x)15- \frac{4 \cot^{15}{\left(x \right)}}{15}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cot⁡12(x)csc⁡2(x) dx=6∫cot⁡12(x)csc⁡2(x) dx\int 6 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u12) du\int \left(- u^{12}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u12 du=−∫u12 du\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u12 du=u1313\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1313- \frac{u^{13}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡13(x)13- \frac{\cot^{13}{\left(x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: −6cot⁡13(x)13- \frac{6 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cot⁡10(x)csc⁡2(x) dx=4∫cot⁡10(x)csc⁡2(x) dx\int 4 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u10) du\int \left(- u^{10}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u10 du=−∫u10 du\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1111- \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡11(x)11- \frac{\cot^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cot⁡11(x)11- \frac{4 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11}

      1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

        Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u8) du\int \left(- u^{8}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u8 du=−∫u8 du\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −u99- \frac{u^{9}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cot⁡9(x)9- \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}

      El resultado es: −cot⁡17(x)17−4cot⁡15(x)15−6cot⁡13(x)13−4cot⁡11(x)11−cot⁡9(x)9- \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17} - \frac{4 \cot^{15}{\left(x \right)}}{15} - \frac{6 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{4 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}

  3. Ahora simplificar:

    −12155tan⁡8(x)+39780tan⁡6(x)+50490tan⁡4(x)+29172tan⁡2(x)+6435109395tan⁡17(x)- \frac{12155 \tan^{8}{\left(x \right)} + 39780 \tan^{6}{\left(x \right)} + 50490 \tan^{4}{\left(x \right)} + 29172 \tan^{2}{\left(x \right)} + 6435}{109395 \tan^{17}{\left(x \right)}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −12155tan⁡8(x)+39780tan⁡6(x)+50490tan⁡4(x)+29172tan⁡2(x)+6435109395tan⁡17(x)+constant- \frac{12155 \tan^{8}{\left(x \right)} + 39780 \tan^{6}{\left(x \right)} + 50490 \tan^{4}{\left(x \right)} + 29172 \tan^{2}{\left(x \right)} + 6435}{109395 \tan^{17}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−12155tan⁡8(x)+39780tan⁡6(x)+50490tan⁡4(x)+29172tan⁡2(x)+6435109395tan⁡17(x)+constant- \frac{12155 \tan^{8}{\left(x \right)} + 39780 \tan^{6}{\left(x \right)} + 50490 \tan^{4}{\left(x \right)} + 29172 \tan^{2}{\left(x \right)} + 6435}{109395 \tan^{17}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                           
 |                                                                            
 |    8                   13           11           15         9         17   
 | cot (x)           6*cot  (x)   4*cot  (x)   4*cot  (x)   cot (x)   cot  (x)
 | -------- dx = C - ---------- - ---------- - ---------- - ------- - --------
 |    10                 13           11           15          9         17   
 | sin  (x)                                                                   
 |                                                                            
/
∫cot⁡8(x)sin⁡10(x) dx=C−cot⁡17(x)17−4cot⁡15(x)15−6cot⁡13(x)13−4cot⁡11(x)11−cot⁡9(x)9\int \frac{\cot^{8}{\left(x \right)}}{\sin^{10}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17} - \frac{4 \cot^{15}{\left(x \right)}}{15} - \frac{6 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{4 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902e71-1e71
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
6.60832193601079e+322
6.60832193601079e+322

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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