Integral de (sqrt(2+4*ln(x)))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 \log{\left(x \right)} + 2$.

      Luego que $du = \frac{4 dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 \log{\left(x \right)} + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{4 \log{\left(x \right)} + 2}}{x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \log{\left(x \right)} + 1}}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \log{\left(x \right)} + 1}}{x}\, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sqrt{2 \log{\left(x \right)} + 1}}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\, du$

            1. que $u = 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1$.

               Luego que $du = - \frac{2 du}{u}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\left(2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(2 \log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \left(2 \log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2} \left(2 \log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} \left(2 \log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(2 \log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$