Integral de 3^xcos(3^x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3^{x}$.

      Luego que $du = 3^{x} \log{\left(3 \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{\log{\left(3 \right)}}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u + 2 \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u + 2 \right)}\, du}{\log{\left(3 \right)}}$

         1. que $u = u + 2$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sin{\left(u + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(3^{x} + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = 3^{x} + 2$.

      Luego que $du = 3^{x} \log{\left(3 \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{\log{\left(3 \right)}}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\log{\left(3 \right)}}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(3^{x} + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(3^{x} + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(3^{x} + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$