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Resolución de integrales/ 9+x^2/ (1-4*x)/ (1-4*x)/sqrt(9+x^2)

Integral de (1-4*x)/sqrt(9+x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |    1 - 4*x     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  9 + x     
 |                
/                 
0
∫011−4xx2+9 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1 - 4 x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx 
Integral((1 - 4*x)/sqrt(9 + x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−4xx2+9=−4x−1x2+9\frac{1 - 4 x}{\sqrt{x^{2} + 9}} = - \frac{4 x - 1}{\sqrt{x^{2} + 9}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4x−1x2+9) dx=−∫4x−1x2+9 dx\int \left(- \frac{4 x - 1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\right)\, dx = - \int \frac{4 x - 1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        4x−1x2+9=4xx2+9−1x2+9\frac{4 x - 1}{\sqrt{x^{2} + 9}} = \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 9}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4xx2+9 dx=4∫xx2+9 dx\int \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx = 4 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx

          1. que u=x2+9u = x^{2} + 9.

            Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: u\sqrt{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x2+9\sqrt{x^{2} + 9}

          Por lo tanto, el resultado es: 4x2+94 \sqrt{x^{2} + 9}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x2+9) dx=−∫1x2+9 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1x2+9 dx=∫1x29+1 dx3\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 1}}\, dx}{3}

            1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

              Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

              ∫9u2+1 du\int \frac{9}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫3u2+1 du=3∫1u2+1 du\int \frac{3}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du = 3 \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du

                  InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u)

                Por lo tanto, el resultado es: 3asinh⁡(u)3 \operatorname{asinh}{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              3asinh⁡(x3)3 \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: asinh⁡(x3)\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −asinh⁡(x3)- \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}

        El resultado es: 4x2+9−asinh⁡(x3)4 \sqrt{x^{2} + 9} - \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −4x2+9+asinh⁡(x3)- 4 \sqrt{x^{2} + 9} + \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−4xx2+9=−4xx2+9+1x2+9\frac{1 - 4 x}{\sqrt{x^{2} + 9}} = - \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 9}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4xx2+9) dx=−4∫xx2+9 dx\int \left(- \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx

        1. que u=x2+9u = x^{2} + 9.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: u\sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2+9\sqrt{x^{2} + 9}

        Por lo tanto, el resultado es: −4x2+9- 4 \sqrt{x^{2} + 9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1x2+9 dx=∫1x29+1 dx3\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 1}}\, dx}{3}

        1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

          Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

          ∫9u2+1 du\int \frac{9}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3u2+1 du=3∫1u2+1 du\int \frac{3}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du = 3 \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du

              InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: 3asinh⁡(u)3 \operatorname{asinh}{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3asinh⁡(x3)3 \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: asinh⁡(x3)\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}

      El resultado es: −4x2+9+asinh⁡(x3)- 4 \sqrt{x^{2} + 9} + \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −4x2+9+asinh⁡(x3)+constant- 4 \sqrt{x^{2} + 9} + \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−4x2+9+asinh⁡(x3)+constant- 4 \sqrt{x^{2} + 9} + \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                           ________           
 |   1 - 4*x                /      2         /x\
 | ----------- dx = C - 4*\/  9 + x   + asinh|-|
 |    ________                               \3/
 |   /      2                                   
 | \/  9 + x                                    
 |                                              
/
∫1−4xx2+9 dx=C−4x2+9+asinh⁡(x3)\int \frac{1 - 4 x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx = C - 4 \sqrt{x^{2} + 9} + \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         ____             
12 - 4*\/ 10  + asinh(1/3)
−410+asinh⁡(13)+12- 4 \sqrt{10} + \operatorname{asinh}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 12 
=
= 
         ____             
12 - 4*\/ 10  + asinh(1/3)
−410+asinh⁡(13)+12- 4 \sqrt{10} + \operatorname{asinh}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 12 
12 - 4*sqrt(10) + asinh(1/3)
Respuesta numérica [src] 
-0.321660490436259
-0.321660490436259

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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