Integral de ((3*x^2-x*exp(x)+2)/x)-((1/(sqrt(7-x^2)))) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{7 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{7 - x^{2}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(7)*sin(_theta), rewritten=1, substep=ConstantRule(constant=1, context=1, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(7)) & (x > -sqrt(7)), context=1/(sqrt(7 - x**2)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7} x}{7} \right)} & \text{for}\: x > - \sqrt{7} \wedge x < \sqrt{7} \end{cases}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{2 u^{2} - u e^{\frac{1}{u}} + 3}{u^{3}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 u^{2} - u e^{\frac{1}{u}} + 3}{u^{3}}\, du = - \int \frac{2 u^{2} - u e^{\frac{1}{u}} + 3}{u^{3}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{2 u^{2} - u e^{\frac{1}{u}} + 3}{u^{3}} = \frac{2}{u} - \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} + \frac{3}{u^{3}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

                  1. que $u = \frac{1}{u}$.

                     Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- e^{\frac{1}{u}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $e^{\frac{1}{u}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3}{u^{3}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{2 u^{2}}$

               El resultado es: $e^{\frac{1}{u}} + 2 \log{\left(u \right)} - \frac{3}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{\frac{1}{u}} - 2 \log{\left(u \right)} + \frac{3}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{2}}{2} - e^{x} + 2 \log{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\left(3 x^{2} - x e^{x}\right) + 2}{x} = 3 x - e^{x} + \frac{2}{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{x}\right)\, dx = - \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2} - e^{x} + 2 \log{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2} - \begin{cases} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7} x}{7} \right)} & \text{for}\: x > - \sqrt{7} \wedge x < \sqrt{7} \end{cases} - e^{x} + 2 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{3 x^{2}}{2} - e^{x} + 2 \log{\left(x \right)} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7} x}{7} \right)} & \text{for}\: x > - \sqrt{7} \wedge x < \sqrt{7} \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{3 x^{2}}{2} - e^{x} + 2 \log{\left(x \right)} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7} x}{7} \right)} & \text{for}\: x > - \sqrt{7} \wedge x < \sqrt{7} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{3 x^{2}}{2} - e^{x} + 2 \log{\left(x \right)} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7} x}{7} \right)} & \text{for}\: x > - \sqrt{7} \wedge x < \sqrt{7} \end{cases}+ \mathrm{constant}$