Sr Examen
Integral de du/cos(u) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 1 | ------ du | cos(u) | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\cos{\left(u \right)}}\, du$$
Integral(1/cos(u), (u, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | ------ du | cos(u) | /
La función subintegral
1 ------ cos(u)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(u)
obtendremos
1 cos(u)
------ = -------
cos(u) 2
cos (u)Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 cos (u) = 1 - sin (u)
cambiamos denominador
cos(u) cos(u) ------- = ----------- 2 2 cos (u) 1 - sin (u)
hacemos el cambio
u = sin(u)
entonces integral
/ | | cos(u) | ----------- du | 2 = | 1 - sin (u) | /
/ | | cos(u) | ----------- du | 2 = | 1 - sin (u) | /
Como du = du*cos(u)
/ | | 1 | ------ du | 2 | 1 - u | /
Reescribimos la función subintegral
1 1
----- + -----
1 1 - u 1 + u
------ = -------------
2 2
1 - u entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| 1 / / =
| ------ du = ----------- + -----------
| 2 2 2
| 1 - u
|
/
= log(1 + u)/2 - log(-1 + u)/2
hacemos cambio inverso
u = sin(u)
Respuesta
/ | | 1 log(1 + sin(u)) log(-1 + sin(u)) | ------ du = --------------- - ---------------- + C0 | cos(u) 2 2 | /
donde C0 es la constante que no depende de u
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 1 log(1 + sin(u)) log(-1 + sin(u)) | ------ du = C + --------------- - ---------------- | cos(u) 2 2 | /
$$\int \frac{1}{\cos{\left(u \right)}}\, du = C - \frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(1 + sin(1)) log(1 - sin(1))
--------------- - ---------------
2 2
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(1 - \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$
=
=
log(1 + sin(1)) log(1 - sin(1))
--------------- - ---------------
2 2
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(1 - \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$
log(1 + sin(1))/2 - log(1 - sin(1))/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.