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Resolución de integrales/ -cosx/ -sinx/ x/cosx/ 1-sinx/cosx(1-cosx)

Integral de 1-sinx/cosx(1-cosx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                             
 --                             
 4                              
  /                             
 |                              
 |  /    sin(x)             \   
 |  |1 - ------*(1 - cos(x))| dx
 |  \    cos(x)             /   
 |                              
/                               
0
∫0π4(−sin⁡(x)cos⁡(x)(1−cos⁡(x))+1) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)\, dx 
Integral(1 - sin(x)/cos(x)*(1 - cos(x)), (x, 0, pi/4))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)(1−cos⁡(x))) dx=−∫(1−cos⁡(x))sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)\right)\, dx = - \int \frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u−1u du\int \frac{u - 1}{u}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

            El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡(x))sin⁡(x)cos⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u−1u) du\int \left(- \frac{u - 1}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u−1u du=−∫u−1u du\int \frac{u - 1}{u}\, du = - \int \frac{u - 1}{u}\, du

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

                El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −u+log⁡(u)- u + \log{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(cos⁡(x))−cos⁡(x)\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡(x))sin⁡(x)cos⁡(x)=−sin⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = - \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

          El resultado es: −log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(cos⁡(x))−cos⁡(x)\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(x \right)}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    El resultado es: x+log⁡(cos⁡(x))−cos⁡(x)x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x+log⁡(cos⁡(x))−cos⁡(x)+constantx + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x+log⁡(cos⁡(x))−cos⁡(x)+constantx + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                                            
 | /    sin(x)             \                                  
 | |1 - ------*(1 - cos(x))| dx = C + x - cos(x) + log(cos(x))
 | \    cos(x)             /                                  
 |                                                            
/
∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)(1−cos⁡(x))+1) dx=C+x+log⁡(cos⁡(x))−cos⁡(x)\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)\, dx = C + x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.752-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      ___           /  ___\
    \/ 2    pi      |\/ 2 |
1 - ----- + -- + log|-----|
      2     4       \  2  /
−22+log⁡(22)+π4+1- \frac{\sqrt{2}}{2} + \log{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \frac{\pi}{4} + 1 
=
= 
      ___           /  ___\
    \/ 2    pi      |\/ 2 |
1 - ----- + -- + log|-----|
      2     4       \  2  /
−22+log⁡(22)+π4+1- \frac{\sqrt{2}}{2} + \log{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \frac{\pi}{4} + 1 
1 - sqrt(2)/2 + pi/4 + log(sqrt(2)/2)
Respuesta numérica [src] 
0.731717791930928
0.731717791930928

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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